一道書本習題的探究性學習

季蕓潔

[摘 要] “臃腫”的數學課堂需要“瘦身”，數學教師必須緊緊抓住課堂教學是為了學生的思維發展服務這一中心，追求簡約的教學過程，讓數學教學輕裝上陣，以提高課堂教學的實效性.

[關鍵詞] 探究性學習；數學素養；實效性

新課程理念忽如一夜春風，吹遍了大江南北. 數學課堂一改過去的煩瑣分析、串講串問，取而代之的是師生對話、合作交流……我們的數學老師驀然發現：數學教學應該給予學生全方位的關注與提升. 于是，知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀，成為每節數學課都追求的目標. 老師們甚至希望，一節課就使學生的數學素養得到全面的提升. 所以，在課堂堂上呈現的是多元的教學目標、豐富的教學內容、紛繁的教學環節和教學方法，這一切圍繞文本展開的數學活動使每個孩子熱情高漲、狀態頗佳. 然而，一節課結束，學生似乎學會了許多，但又似乎什么也沒有真正學會. 反思新課程背景下的數學課堂教學，筆者感到，“臃腫”的數學課堂急需要“瘦身”，我們必須緊緊抓住課堂教學是為了學生的思維發展服務這一中心，追求簡約的教學過程，讓數學教學輕裝上陣，以提高課堂教學的實效性.

筆者最近和學生一起對一道書本習題進行了多角度的探究，這是一次非常愉快的探究過程，以下是筆者的課堂探究過程，寫成拙文和同行分享.

[問題] （蘇教版必修五P24第6題）如圖，已知∠A為定角，點P，Q在∠A的兩邊上，且PQ為定長，當P，Q處于什么位置時，△APQ的面積最大？

筆者標記了∠A=θ，PQ=a，先讓學生獨立操作這道題，10分鐘后將兩位學生的解題過程投影出來一起分析.

學生1的解答過程：

解：設∠AQP=α，由正弦定理可知==，

所以AP=，AQ=，

所以S△APQ=AP·AQ·sinθ=···sinθ=·sinαsin（α+θ）.

因為sinαsin（α+θ）=sinα（sinαcosθ+cosαsinθ）=cosθsin2α+sinθsinαcosα

=cosθ+sinθsin2α=·cosθ+（sinθsin2α-cosθcos2α）

=cosθ-cos（2α+θ），

所以S△APQ=[cosθ-cos（2α+θ）].

當α=（π-θ）時，（S△APQ）==.

學生2的解答過程：

解：設AP=x，AQ=y，由余弦定理可知x2+y2-2xycosθ=a2.

因為x2+y2≥2xy（當x=y時，取“=”），

所以2xy-2xycosθ≤a2，

所以xy≤（當且僅當x=y=取等號），

所以（S△APQ）max==.

教師：誰來點評下這兩種解法？

學生3：我是用生2的做法，所以我覺得他的解法比較好. （其他學生哈哈大笑）

教師：你能具體說說你的想法嗎？

學生3：因為S△APQ=AP·AQ·sinθ，所以只要求出AP·AQ的最大值就可.

教師：不要都講好話嘛，我們也要談談他們解法中的不足嘛！大家一起來找茬吧！（學生們哈哈大笑）

學生4：學生1的解答中sinαsin（α+θ）的變形可以簡單一點.

因為2sinαsin（α+θ）=cos[α-（α+θ）]-cos[α+（α+θ）]，

所以sinαsin（α+θ）=[cosθ-cos（2α+θ）].

教師：很好，能夠用辯證的眼光看待角與角之間的關系，有進步. 誰再來談談對這兩種解法的看法.

學生5：學生1是引進角變量α來分別表示AP和AQ，然后從函數角度求出AP·AQ的最大值，學生2是把AP·AQ看成一個整體，應用基本不等式求出AP·AQ的最大值.

教師：分析得蠻深刻，其他同學還有更好的解法嗎？

學生6：我認為當AP=AQ時，△APQ的面積最大，此時PQ邊上的高h==，

所以（S△APQ）max=a·=.

教師：你能給大家說說這樣做的理由嗎？

學生6：我是猜的（下面有幾位同學也紛紛表示他們也是這樣做的），因為我發現P，Q兩點的運動是相互制約的，所以猜測當AP=AQ時，△APQ的面積最大.

教師：非常好，你的這種猜測非常有意義，你這種直覺思維（伊恩·斯圖加特說：“直覺是真正的數學家賴以生存的東西”，許多重大的發現都是基于直覺）非常值得我們其他同學學習！（我連用了三個非常來表揚這位同學，是因為我發現我們很多時候的數學探究過程拋棄了直覺思維，而直接進入推理演繹階段. 我個人認為脫離直覺思維的探究過程是一個失敗的探究過程！）但是，在解答題中用這種方法理由肯定是不充分的. 請大家思考下，誰能夠幫助學生5找出一個充分的理由呢？

5分鐘過去了，教室里面依然非常安靜，但每個人都在積極地思考著. 似乎進展很不順利！

教師：大家有什么好的想法了嗎？（沒有回應）那大家感覺麻煩在什么地方？

學生：P，Q兩點都在運動.

教師：大家注意到PQ為定長了嗎？要使得△APQ的面積最大，其實只需要哪個量最大？

學生：只要求出PQ邊上的高的最大值.

教師：對于兩個不同狀態下的△APQ和△AP1Q1，他們除了都是同角對等邊，還有什么共同特征？

學生7：由可得△APQ和△AP1Q1的外接圓半徑相同.

教師：非常準確！既然外接圓的半徑是相同的，那么這個問題能不能轉化在圓內進行研究的問題，請大家討論下.

經過3分鐘左右的討論，有成績比較好的學生已經發現這個問題的本質.

學生8：已知PQ是圓O的一條定弦，點A在優弧PQ上運動，求△APQ面積的最大值.

教師：學生8提出的問題和本題本質相同嗎？有沒有地方需要修正的？

學生9：我覺得圓O的半徑必須要定下來，這樣才能保證∠A為定值.

教師：那半徑是多少呢？

學生9：半徑應該是.

教師：你能把今天我們研究的這個問題完整地敘述出來嗎？

學生9：已知PQ是半徑為（θ為銳角）的圓的一條弦，且PQ=a，點A在優弧PQ上運動，求△APQ面積的最大值.

教師：請你把過程在黑板上寫出來.

若θ∈0，，則由圖3易知，（S△APQ）max=a·+cosθ=.

教師：學生9完成得非常出色，其他同學覺得還有需要補充的嗎？

學生10：學生9只討論了點A在優弧PQ上運動，如果點A在劣弧PQ上運動，應該是另外一種情形.

已知PQ是半徑為（θ為鈍角）的圓的一條弦，且PQ=a，點A在劣弧PQ上運動，求△APQ面積的最大值.

若θ∈，π，則由圖4易知，（S△APQ）max=a·-cos（π-θ）=.

教師：很好，考慮問題很全面，已經有發散性思維了！數學意識增強了嘛！

課后感悟

簡單，意味著在課堂上我們要放棄一切與學生思維無關的行為；簡單，意味著我們的教學要確定簡明的教學目標，選擇簡約的教學內容，設計簡潔的教學環節，采用簡便的教學方法；簡單，意味著學生因喜歡而輕松愉快、積極主動地欣然接納！而數學教學也只有簡約、沉靜下來，我們才能夠看清數學教學的廬山真面目. 所謂“大道至簡”，大概就是這種境界！