函數、導數問題參數討論范圍的逐層確定

徐道奎

函數問題的解決大多依賴于圖象的分析，而準確地分析圖象往往需要借助于導數這個工具. 其中通過對參數的討論來分析導數的正負是難點，如何確定參數討論的范圍，也就是怎樣對參數進行分類是解題的關鍵.參數討論范圍的界點是在動態探索過程中逐步確定的，解題時應該把握討論的層次，逐步確定參數討論的界點，確定參數討論的范圍，不可一蹴而就，也不能手忙腳亂，下面以近兩年高考題為例分析說明.

1分層，實例探究

例1（2015年全國卷Ⅰ理科21）

已知函數f（x）=x3+ax+14，g（x）=-ln x.

（1）當a為何值時，x軸為曲線y=f（x）的切線；

（2）用min{m，n}表示m，n中的最小值，設函數h（x）=min{f（x），g（x）}（x>0），討論h（x）零點的個數.

分析第二問由于x>1時，g（x）<0，函數h（x）沒有零點，因此，只要分析區間（0，1]上h（x）的零點，而（0，1）上g（x）沒有零點，實際上只要分析f（x）在（0，1]上的零點即可.分析f（x）的零點應該從分析其圖像開始，用導數分析，必然要對參數a進行討論，那么，如何確定參數討論的界點呢？

第一層次：由a決定的函數單調性不同進行分類，因為f′（x）=3x2+a，顯然，a≥0時，函數f（x）在定義域上單調遞增，a<0時，f（x）在定義域（0，+∞）上有增有減，因此，0是對參數a討論的最先確定的界點.由f（x）、g（x）的圖像可知，a≥0時，函數h（x）只有一個零點；而a<0時，函數f（x）在定義域（0，+∞）上有增有減，但在區間（0，1]上單調性如何呢，討論進入下一層次.

第二層次：a<0時，f（x）在0，-a3上單減，-a3，+∞上單增，必然要討論1與-a3的大小關系，以便確定f（x）在區間（0，1]上的單調性，此時，要將a分為a≤-3和-3

第三層次：（1）a≤-3時，函數f（x）在（0，1]上單減，函數最小值為f（1）=a+54，考慮其正負，對a的范圍再細分為-54

（2）-3

鑒于以上分析，分別考慮a≥0、-54

綜上，當a>-34或a<-54時，h（x）有一個零點；當a=-34或a=-54時，h（x）有兩個零點；當-54

以上分析可以看出，對參數討論的區間劃分（范圍確定）不是一步到位的，要層層遞進，逐步分析.當然，討論參數時層次的劃分也不是固定不變的，不能死板教條.但在思考時一定要有層次性，通過各層次的分析使思路清晰，這樣思維才有條理，解決問題才有章法.

例2 （2014年全國卷Ⅰ文科21）

設函數f（x）=aln x+1-a2x2-bx（a≠1），曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為0.

（1）求b；

（2）若存在x0≥1，使得f（x0）

分析第二問存在x0≥1，使得f（x0）

由于f′（x）=1-ax（x-a1-a）x-1，討論參數a涉及兩個層次，一是f′（x）=0的兩個根1與a1-a的大小比較，另一個是系數1-a的正負，但這兩個層次可以一次融合在一起考慮，最終分a≤12、121三種情況，具體解答略.

在確定參數討論的界點時分層考慮，能夠使得思考的線路清晰，如果每個層次比較單一，可以把幾個層次綜合起來，一并考慮.例題2就是在思考時先分層分析，確定參數分類討論范圍時融合在一起.

例3（2015年山東卷理科21）

設函數f（x）=ln（x+1）+a（x2-x），其中a∈R.

（1）討論函數f（x）極值點的個數，并說明理由；

（2）若x>0，f（x）≥0成立，求a的取值范圍.

分析先求出導數

f′（x）=2ax2+ax+1-ax+1x>-1.

（1）分三個層次考慮，一是二次項系數，分a>0、a=0、a<0三種情況；二是在a>0、a<0兩種情況下討論Δ>0、Δ=0和Δ<0，具體結論是：在 a>0前提下，① a>89時Δ>0，②a=89時Δ=0，③00；三是在Δ>0情況下考慮導數為零的兩個根x1，x2（x189時，兩根均比-1大（其中x1<0），a<0時， x1<-1，x2>-1.綜合三個層次得出討論a的范圍和對圖象的分析，可得極值點個數為：a>89時兩個極值點；0≤a≤89時無極值點；a<0時一個極值點.

（2）由（1）討論的情況可知，a<0時，若 x→+∞，f（x）→-∞，不合題意；0≤a≤89時， f（x）在0，+∞上單調遞增，且f（0）=0，符合題意；a>89時，要繼續考慮下一個層次，導數為零的兩根與0的大小關系（只要考慮大的那個根與0的大小），得出891時，f（x）在0，+∞上先減后增，必存在x0∈0，+∞，使得f（x0）<0，不合題意.綜上，a的取值范圍是0，1.

例4（2013年浙江高考理科22）

已知a∈R，函數f（x）=x3-3x2+3ax-3a+3.

（1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；

（2）當x∈0，2時，求f（x）的最大值.

分析（2）先求導，用圖象分析.

f′（x）=3x2-6x+3a，顯然，要通過f′（x）的正負分析f（x）在0，2上的單調區間，結合極值、最值、零點、端點函數值得出函數f（x）的圖象，再得到f（x）的圖象，f（x）的圖象可由f（x）的圖象“去下，下翻上”，因此，要分析極值、最值、端點函數值的正負，最終得到f（x）的最大值.

基于以上分析，可大致確定參數討論要分三個層次：①決定導數正負情況層次；②決定極值、最值、端點函數值的正負層次；③決定極值、最值、端點函數值的大小層次.具體分析如下.

由于f′（x）是開口向上、對稱軸為x=1的拋物線，當a≥1時，f′（x）≥0，f（x）在0，2上單調遞增，f（0）≤0，f（2）>0，f（x）的最大值為max{f（2），-f（0）}=f（2）=3a-1；當a≤0時，f′（x）≤0，f（x）在[0，2]上單調遞減，f（0）>0，f（2）<0，f（x）的最大值為max{-f（2），f（0）}=f（0）=3-3a；當0

當00，f（x1）+f（x2）>0，當13≤a<1時，f（2）≥0， f（x）的最大值為max{f（2），f（0），f（x1）}（*），當0

綜合上述三個層次討論的結果，得

f（x）max=3-3a，a≤0，

1+2（1-a）1-a，0

3a-1，a≥34.

對參數的分層討論要視情而定，尤其要結合導數的特點，具體問題具體分析.

例5（2016年全國卷Ⅰ理科21）

已知函數f（x）=（x-2）ex+ax-12有兩個零點.

（1）求a的取值范圍；

（2）設x1，x2是f（x）的兩個零點，證明：x1+x2<2.

分析這里只分析第一問.

顯然要通過求導來分析函數的圖象，f′（x）=x-1ex+2a.

第一層次，要對導數f′（x）的零點個數進行討論，分a=0，a>0，a<0三種情況.

a=0時，f（x）=（x-2）ex，函數只有一個零點，不合題意.

a>0時，f（x）在（-∞，1）上單減，在（1，+∞）上單增，由于f（1）=-e<0，f（2）=a>0，取b滿足b<0且ba2b-2+a（b-1）2=ab2-32b>0，故f（x）存在兩個零點.所以a>0符合題意.

a<0時，由f′（x）=0得x=1或x=ln（-2a），這時需要比較1與ln（-2a）大小，然后通過分析導數正負劃分函數的單調區間，這樣，對a的討論進入了第二層次.

注意到在a<0時，當x≤1時，f（x）<0，即x≤1時函數f（x）沒有零點.因此只要討論f（x）在1，+∞上的零點.

當a≥-e2時，ln-2a≤1，故當x∈1，+∞時，f′（x）>0，所以f（x）在1，+∞上單調遞增.所以f（x）不存在兩個零點.

當a<-e2時，ln-2a>1，故當x∈1，ln-2a時，f′（x）<0；當x∈ln-2a，+∞時，f′（x）>0.所以f（x）在1，ln-2a上單調遞減，在ln-2a，+∞上單調遞增，且f（1）=-e<0，所以f（x）不存在兩個零點.

綜上，a的取值范圍是（0，+∞）.

2分層，“層”從何來

分層逐步確定參數討論的范圍可以使我們有方向、有目標地解決問題，那么，怎樣確定討論的層次呢？用導數解決函數問題的關鍵是函數單調區間的確定，而函數單調區間的確定取決于對導數正負的分析，因此要圍繞能夠確定導數正負的條件進行分層（一般需要考慮導數恒非負、恒非正、有正有負幾種情況），在解導數不等式時先對導數中最高項的系數進行討論，再對導數有無零點和導數零點個數進行討論，然后對導數零點與定義域區間端點的關系進行討論，分析函數圖象時還要討論區間內極值最值情況等等，這些都是分層的依據.

二次函數、二次方程、二次不等式討論的層次（如例題3）一般是先討論二次項系數a，再討論根的判別式Δ，再討論根的大小，最后討論根與區間端點的關系.

逐層確定參數討論范圍時，討論的層次由大到小，如例1，最先討論的是決定函數整體單調性不同的a的范圍，再討論各不同單調性情況下，定義域區間的單調性，最后討論定義域區間上的最小值；例3也是一樣，先討論a，識別是不是“二次”的問題，再討論Δ，是“二次”條件下有無實根的問題，最后討論的是有二不等實根以后根的大小以及根與定義域區間端點的關系.

對參數討論層次的把握既要事先構思，又要在討論過程中靈活掌握，并不是每一種情況都需要分層到底. 討論參數時，可以一層一層地展開分析，也可以按照一條線路走下去，一線多層，也可以層層分析以后，綜合取值，統籌考慮.