常微分方程的教學探討

陳春濤

摘 要： 常微分方程是一門重要的數學基礎課，作者結合教學經驗，對常微分方程的教學方法進行初步探討。

關鍵詞： 常微分方程 教學方法 數學建模 線性代數 微課

在自然科學和社會科學的研究中，許多現象及事物發展的規律都可用數學模型表示出來，而常微分方程是數學建模中最基本的工具。同時，又是應用數學專業一門重要的基礎課，對先修課程及后續相關課程起到承上啟下作用。現我對于怎樣教好常微分方程這門課以達到該課程教學目的，提高教學質量，談談一些體會和看法。

一、讓學生了解常微分方程課程的特點，認識到學好該課程的重要意義。

常微分方程是學習其他數學理論后續課程的基礎，這些課程包括數理方程、微分幾何、泛函分析等。課程本身既有嚴密的邏輯性，又有一定的應用性，但目前高校常微分方程課程大多還停留在傳統教師主講形式，偏理論，輕應用，使學生極易產生排斥心理。因此，講授這門課內容之前，教師不妨先利用一些簡單的物理、生物和化學等相關學科的模型引入，讓學生深刻認識到這門課是解決實際問題的有力工具，提高學生對課程的興趣。

二、培養學生的學習興趣。

教師要注意采用多種教學方法，不能為了趕教學進度直接把定義、定理、證明一一搬出來，使學生陷入枯燥的學習中，進而失去學好這門課的興趣。因此，教師在教學過程中既要充分發揮自身的主導作用，又要讓學生積極、主動地參與到教學中。比如，學習了二階常系數線性方程的求解后，可以引導學生根據中學時接觸過的單擺問題，先讓他們嘗試建立簡單的物理模型并加以討論，由此得到出現簡諧振動、共振現象的條件。

三、根據授課對象，對教學內容進行適當增減，教學難度應有所不同。

學生所學的專業對數學基礎的要求不盡相同，因此，教師應該根據學生專業選擇授課內容。比如，若授課對象是應用數學或數理專業的學生，則除了要求掌握常微分方程的計算技巧外，還應強調基本數學定理的證明。若授課對象為金融數學專業，常微分方程的作用主要體現在應用上，因此教師在授課中應側重數值計算，復雜的定理推導可以僅介紹證明思路。此外，若教師在平時工作中注意收集相關實際案例，把這些案例引入各類專業課堂教學中，則對促進學生學習積極性提高起到至關重要的作用。

四、注意本課程與其他課程的相互滲透。

常微分方程教學內容中，計算占了很大比例，而課程本身就是結合線性代數、解析幾何等相關數學知識解決數學理論和其他學科中出現的微分方程問題。因此，教學中，除了讓學生掌握基本計算方法外，還要注意與其他課程的相互滲透。如學習求解常系數線性方程組的基解矩陣這部分內容時，若方程組的系數矩陣A（設為n階）恰好有n個線性無關的特征向量，則可直接利用課本上的定理寫出其基解矩陣。此外，還可引導學生根據線性代數的知識知A可對角化，則通過可逆的線性變換必能將系數矩陣化為對角形，使得方程組的求解易于進行。

五、結合運用多媒體技術。

傳統的教學方法以板書為主，但是由于常微分方程這門課中定理的理論證明比較多，一味板書和講授會讓學生產生厭煩心理。因此，教師應該把傳統教學方式與現代教學手段結合起來，借助多媒體把板書內容適當變得有趣一些。如學習解的延拓時，可以用動態畫面把這部分內容展現出來，讓學生在腦海里有較為直觀的印象，接著引導學生思考、總結方程的解向左右兩邊延拓的情形究竟如何，最后教師對學生總結出的內容給予相應修改、補充。這樣教師既可以較為輕松地把抽象的定理內容傳授給學生，又可以讓學生參與到課堂討論中。

六、將微課形式融入教學中。

近年來，微課在我國發展很快，這一新的教學形式逐漸成為教育信息化的熱點之一。它不同于傳統課程，主要以教學視頻為表現形式，具有內容少而精的特點。由于常微分方程課時的限制，教師不可能將課程全部內容都在課堂教學中呈現出來，而且有些較難的知識點通過教師的講授可能還有部分學生無法掌握。因此，教師可根據課程內容的特點，將微課適當引入教學中。例如，講授求常系數線性方程組基解矩陣這一部分內容時，在課堂上教師主要介紹根據空間分解理論所得的基本計算公式，至于其他計算方法，如利用約當標準形，以及利用哈密杜頓-凱萊定理的方法，教師可將其錄制成微課放在網上，供感興趣的學生自行學習。這樣可以讓學生充分利用課余時間學習這門課，激發學生的學習熱情和創造性。但需要注意的是，微課只是教學輔助手段，并不是所有常微分方程的知識都適合制作成微課，因此在知識點選擇上還需教師反復推敲，在教學中適當融入微課，才能達到提高教學質量的目的。

常微分方程是一門重要的基礎課程，隨著科技進步，高校教師應緊跟時代前進步伐，更好地設置教學內容和教學模式，盡可能深入淺出地講授這門課程。

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基金項目：2015年度廣西高等教育本科教學改革工程項目（2015JGA134）