淺談解答解析幾何綜合題中簡化運算的若干技巧

李萍

摘 要：在歷年的高考中，解析幾何綜合題是命題熱點之一。該類試題一般以解析幾何知識為載體，涵蓋函數、不等式、數列、三角等各方面知識，涉及知識點頗多，具有題型多樣性、方法靈活性、計算復雜性、思維嚴密性等特點，對學生解題能力考查的層次要求較高。同學們在解答時往往半途而廢，甚至無從下手。在學習中，學生要善于總結平時探索、討論所得的解題思想、方法和策略，提升解題技巧。在解題時認真審題，從宏觀上把握，微觀上突破，采取合理、正確的解題技巧。本文就解析幾何綜合題中簡化運算的若干技巧作了介紹，以期對一線師生們有所幫助。

關鍵詞：解析幾何綜合題；簡化運算；技巧；數形結合；設而不求

學習高中數學往往都有同感：高中數學難，解析幾何綜合題更是其中的難題。解析幾何綜合題表現為條件多、題干長，往往有兩問或三問，第二問一般是開放性、探索性問題，有利于考查學生綜合分析解決問題的能力。該題目常以壓軸題呈現，每年必考，經久不衰，是高考的主干內容之一。很多學生懼怕此類題目，有的直接放棄第二問。解答此類題目時需要運用多種知識和多種數學手段，將各種基本公式、定義、法則熟記于心，另外要想做到解題準確且迅速，還需要掌握一些技巧和方法。如：全面認真審題，逐一進行轉化；設而不求，整體代換，整體求出；數形結合、直觀顯示、盡量減少運算量；研究圖形特殊性、先知后證；判別式與韋達定理；向量法；求根公式等。解析幾何綜合題自有路徑可循，方法、技巧可依，需要我們在日常學習中不斷總結和突破。

一、全面認真審題，逐一進行轉化

針對解析幾何綜合題信息量大、字母符號繁多、圖形復雜等特點，學生對開放性、探索性的問題，沒有明確的解題目標，很難找到解題方向，往往比較茫然。所以，認真審清題意、找到解題的切入口是解題的關鍵前提。全面認真審題要做到“三審”：審條件、審圖形、審結論，并注意挖掘隱含條件。仔細理清題干給出的是哪一種或哪幾種曲線以及它們之間是怎樣的位置關系，其方程是已知的還是含字母待求的等，要對照圖形弄清各種曲線之間的關系，如果題目沒有明確給出圖形，要邊讀題邊畫出圖形，以便于理清題目，最后，通過審結論明確解題目標。但是，因為條件和結論相距甚遠，同學們在解題的時候很可能找不到解題的方向，鑒于此問題，可對條件逐一進行轉化，朝著結論指示的解題目標轉化，與此同時轉化結論，一旦對接上，就找到了解決問題的切入口。

二、設而不求，整體代換，整體求出

在解答解析幾何綜合題的過程中，巧妙地設某些變量，如點的坐標、圓錐曲線方程、直線方程等，盡量減少變量的個數，是順利解題的開始，而解答過程中的運算是能否解題成功的關鍵。要以解題的總目標為中心，運用設而不求的運算技巧，實施整體代換、整體化簡、整體求出的整體策略，化繁為簡，解題自然水到渠成、事半功倍，體現了整體思維和全局觀念的優越性。在此過程中，要特別注意挖掘題目的隱含條件。

三、數形結合，直觀顯示，盡量減少運算量

解析幾何綜合題體現了解析幾何在數與形相互轉化的數學思想，以坐標法為基礎，建立以代數方法研究幾何問題的知識體系，核心思想是數形結合。同學們在解題的過程中，善于利用圖形特點和性質，往往可以簡化運算，使解答更加容易、便捷。

四、研究圖形特殊性，先知后證

緊緊抓住問題的特殊性進行猜想是一種哲學方法。在解析幾何的定點、定值等問題中，面對復雜的式子，同學們往往不知所向，解答過程中變得茫然、被動，但是通過研究圖形的特殊性、臨界狀態，由此先得出結論，再對所得結論進行一般情形下的證明。此方法可為我們的解題指明方向，問題不再煩瑣，而是迎刃而解。

五、判別式與韋達定理

軌跡問題的解題困難在于多動點的困擾，同學們往往束手無策。其實，面對此類題目，同學們應該想到通過參數法來求解。在解題過程中，首先選定參數，之后想辦法將點的橫坐標、縱坐標用參數表達，最后通過消參實現成功解題。

由方程組進行消元，產生一個標準的有關一個變量的一元二次方程，易于想到其判別式與韋達定理模塊思維。在解題的過程中，難點在于引出參，活點在于應用參，重點在于消去參，而引參、用參、消參是解答解析幾何綜合題的一條有效途徑。

六、向量法

向量法是用向量的方法解題或做題目，利用向量的數量積構造出等式或函數關系，再利用函數求最值的方法求最值。通過此方法，可以將復雜的問題簡單化，便于同學們理解和計算，這樣顯然要比單純利用解析幾何知識建立等量關系更簡單一些。

七、求根公式

范圍問題不等關系的建立有很多途徑，包括均值不等式法、判別式法、變量的有界性法、數形結合法、函數的性質法等，根據具體問題，選擇合適的方法進行解答，定能簡化運算，問題自然迎刃而解。

總之，在當前的高中數學教學中，教師往往過于強調死記硬背概念、定理和公式，而忽視了對知識進行提取或總結；重視講解課本內容，而忽略了提高學生的解題技巧，缺乏了對學生數學素養的培養。本文介紹了解答解析幾何綜合題的一些策略和技巧，在解答解析幾何綜合題的過程中幾乎都要用到以上策略。因為該類題目的長度大、運算量大、難度大，同學們即使找到切入口形成解題思路，還會出現解題失敗的情況，如因某一步運算出錯導致解題半途而廢，前功盡棄，或順著錯誤的結果繼續解題導致會而不對，還會出現因對問題沒有分析全面，考慮不周導致對而不全，白白丟分，十分可惜。具體表現為在消元轉化為一元二次方程后忽略了對判別式的討論，在設直線方程時忽略了斜率不存在的情況等，所以教師在平時的教學中，特別是針對此類題目，要注重培養學生細心縝密的做題習慣，引導學生掌握簡便、有效的運算技巧，培養學生堅強的意志力，而不是遇到問題就放棄，或半途而廢。在解題時，要有堅持到底就一定能成功的信心，因為當確定目標時，堅持比方法更重要。

高考猶如上戰場，而解題猶如打仗，不能只是忙于沖鋒陷陣，局部短暫的勝利并不是成功，切忌被局部糾纏而看不清問題的實質所在。見微知著，縱觀全局，從局部入手，樹立整體觀念，在掌握通法通性的同時不應只形成一個個集體套路，解題時生搬硬套，缺乏分析，跟著感覺走，做到哪兒就算哪兒，而應該從宏觀上去把握，從微觀上去突破，講究排兵布陣，運籌帷幄，在審題和解題的整體思路設計上下功夫，樹立必勝的信心，不斷克服解題過程中的困難。

以上解答解析幾何綜合題的思路和技巧告訴我們：多做多練，見多識廣，可以增強我們的領悟能力；善于總結，可減少解題時的盲目性。解題過程中的應答自如，源自于平時學習中的日積月累，只有多練習、多探索、多總結，掌握各種技巧，做題時才能隨機應變，使問題迎刃而解。

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（作者單位：湖南省郴州市一中）