選例題要“一題多解”　做習(xí)題求“多題一解”——談畢業(yè)總復(fù)習(xí)階段“組合圖形的面積計(jì)算”的復(fù)習(xí)策略

浙江杭州市蕭山區(qū)樓塔鎮(zhèn)巖山中心小學(xué)（310000）　章中其

選例題要“一題多解”做習(xí)題求“多題一解”——談畢業(yè)總復(fù)習(xí)階段“組合圖形的面積計(jì)算”的復(fù)習(xí)策略

浙江杭州市蕭山區(qū)樓塔鎮(zhèn)巖山中心小學(xué)（310000）章中其

教師應(yīng)摒棄以往“就題論題”的復(fù)習(xí)方法，引導(dǎo)學(xué)生把組合圖形的面積計(jì)算歸入知識(shí)系統(tǒng)后進(jìn)行深入的探究，使學(xué)生體會(huì)到“合并求和”“去空求差”的數(shù)學(xué)思想方法，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。

一題多解多題一解合并求和去空求差思想方法

在課堂教學(xué)中，為了開拓學(xué)生的解題思路，培養(yǎng)和提高學(xué)生思維的廣闊性、靈活性，教師往往會(huì)采用“一題多解”的例題。“一題多解”的講解和訓(xùn)練，不僅可以使師生加深對(duì)題旨的理解，而且可以促進(jìn)學(xué)生明晰題中的數(shù)量關(guān)系，尋求到更合理、更簡(jiǎn)捷的解題方法。如在畢業(yè)總復(fù)習(xí)階段復(fù)習(xí)“組合圖形的面積計(jì)算”時(shí)，我按照傳統(tǒng)的“一題多解”的方法，讓學(xué)生自我總結(jié)“萬(wàn)變不離其宗”的思想方法，變“一題多解”為“多題一解”，使學(xué)生的解題能力得到提高。

一、選例題時(shí)要“一題多解”，使學(xué)生掌握思想方法

羅增儒認(rèn)為：“分析典型例題的解題過(guò)程是學(xué)會(huì)解題的有效途徑，至少在沒有找到更好的途徑之前，這是一個(gè)無(wú)以替代的好主意。”因此，在畢業(yè)班總復(fù)習(xí)階段復(fù)習(xí)“組合圖形的面積計(jì)算”時(shí)，我采用不同的方法分割圖形，使學(xué)生在“一題多解”中自主歸納自己的解題策略，反思正誤、總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，領(lǐng)悟和掌握解題的思想方法。

例：如右圖，算出圖形陰影部分的面積。

在動(dòng)手解題前，對(duì)圖形進(jìn)行仔細(xì)的觀察和初步的分析是十分必要的，有利于我們進(jìn)一步分析題意、確定思維方法和找到解題路徑。題中的圖形由一個(gè)三角形和一個(gè)半圓組成，陰影部分由三角形的兩邊和半圓周的一部分圍成，這個(gè)三角形的一個(gè)角是直角，一個(gè)銳角是45°，由“三角形內(nèi)角和等于180°”可以求出另一個(gè)銳角的度數(shù)，說(shuō)明這個(gè)三角形是等腰直角三角形。

解法1：如右圖，很明顯，陰影部分面積等于這個(gè)直角三角形面積減去半圓在三角形內(nèi)的部分面積，因?yàn)閮芍苯沁吺且阎模菀浊蟮弥苯侨切蔚拿娣e，現(xiàn)在關(guān)鍵在于求出半圓在直角三角形內(nèi)部分的面積。為此目的，可以通過(guò)圓心和半圓周與直角三角形斜邊的交點(diǎn)畫一條輔助線，這樣就把半圓在三角形內(nèi)部的部分分割成兩部分，即這個(gè)圓的和一個(gè)小直角三角形，然后在圖上分別用Ⅰ和Ⅱ來(lái)表示，于是問(wèn)題得到解決。

解法3：如右圖，連接兩點(diǎn)間的線段，可以看出這條線段正好把這個(gè)直角三角形平均分成了兩部分（想一想，為什么），陰影部分的面積正好可以由這樣分得的直角三角形的一半減去弓形面積求出，這里弓形面積顯然和解法2中的弓形面積是相等的。這個(gè)分析過(guò)程可用下面的示意圖表示：

解法4：如右圖，與解法1相同，把圓心和三角形斜邊與圓周的交點(diǎn)連接起來(lái)，則這條線段一定平行于這個(gè)直角三角形的一條直角邊，這樣就得到了一個(gè)梯形，梯形的上底是圓的半徑，也就是這個(gè)直角三角形直角邊（即圓的直徑）的一半，下底是這個(gè)直角三角形的一條直角邊，高也是圓的半徑，所以陰影部分的面積就是這個(gè)梯形的面積減去這個(gè)圓的這個(gè)分析過(guò)程可以用下圖來(lái)表示

縱觀以上四種不同的解法，讓學(xué)生一邊看圖示，一邊總結(jié)，使學(xué)生首先領(lǐng)悟到無(wú)論哪一種解法都是“大圖形”減去“小圖形”。然后我出示以下兩個(gè)圖形，讓學(xué)生明確其一、其二都屬于組合圖形的面積計(jì)算，其一是“圖形加法”，用“合并求和”解決；其二是“圖形減法”，一般求陰影部分的面積用“去空求差”計(jì)算。

此外，組合圖形的面積計(jì)算有時(shí)也會(huì)用以下兩種方法解決：一是平移轉(zhuǎn)換。在計(jì)算陰影部分面積時(shí)，可以用移動(dòng)變換圖形的方法求解。如右圖，通過(guò)平移，使我們明了陰影部分面積占正方形面積的二是旋轉(zhuǎn)變換，在看圖計(jì)算中應(yīng)用比較廣泛。如下圖，通過(guò)旋轉(zhuǎn)陰影部分，使我們的解題思路豁然開朗。

二、做習(xí)題時(shí)求“多題一解”，促進(jìn)學(xué)生自主掌握解法

我教畢業(yè)班已有十多屆，以往喜歡在畢業(yè)總復(fù)習(xí)階段尋找?guī)讖埦毩?xí)卷，讓學(xué)生重復(fù)訓(xùn)練《單元卷》《習(xí)題卷》，因涉及圖形的種類比較多，所以學(xué)生的訓(xùn)練量比較大，情緒比較抵觸，效果也不明顯。近幾年，我摒棄以往重復(fù)、低層次練習(xí)的做法，選用經(jīng)典例題，通過(guò)歸類訓(xùn)練，讓學(xué)生自悟數(shù)學(xué)思想方法，其效果的確比較理想。

例如，在進(jìn)行“一題多解”的經(jīng)典例題教學(xué)后，我出示以下三組練習(xí)，讓學(xué)生能獨(dú)立解決的先獨(dú)立解決，但解決前要說(shuō)說(shuō)解決問(wèn)題的策略是什么，如有什么疑問(wèn)可以向同桌請(qǐng)教或與同組成員進(jìn)行討論交流。

第一組：求下列圖形中陰影部分的面積。（單位：厘米）

本題組訓(xùn)練，涉及的圖形幾乎包含了小學(xué)階段所有的平面圖形，由于圖形的數(shù)據(jù)比較簡(jiǎn)單，且學(xué)生對(duì)于每一個(gè)圖形的計(jì)算公式均已牢記，所以學(xué)生列式計(jì)算的正確率達(dá)到100%。訓(xùn)練后得出結(jié)論：原來(lái)這些題的解題策略都是“大圖形減去小圖形”（即‘去空求差’），關(guān)鍵是要明確求陰影部分的面積時(shí)，主要是由哪幾個(gè)基本圖形去減。

第二組：求下列圖形中陰影部分的面積。（單位：分米）

本題組訓(xùn)練，學(xué)生單獨(dú)解決的錯(cuò)誤率比較高：圖①的主要問(wèn)題是受例題的負(fù)遷移影響，部分學(xué)生計(jì)算時(shí)漏掉了弓形的面積，部分學(xué)生按照例題的解決方法來(lái)做，算式比較長(zhǎng)，計(jì)算容易出現(xiàn)錯(cuò)誤；圖②的主要問(wèn)題是一部分學(xué)生看到圖形比較復(fù)雜，一時(shí)找不到方法解決。但在訓(xùn)練過(guò)程中，有相當(dāng)一部分學(xué)生利用旋轉(zhuǎn)和翻轉(zhuǎn)的方法，輕松、快速地解決問(wèn)題，并且發(fā)現(xiàn)了圖①和圖②之間的聯(lián)系（一分為二）與區(qū)別（拼成了平行四邊形或長(zhǎng)方形，計(jì)算更簡(jiǎn)單）。通過(guò)交流反饋，學(xué)生恍然大悟——原來(lái)“去空求差”中可以利用平移、旋轉(zhuǎn)等方法使解題策略更簡(jiǎn)單，感受到了數(shù)學(xué)思想方法的魅力。

第三組：

①如圖A，求圖形的面積（單位：厘米）。

②如圖B，求陰影部分的面積和周長(zhǎng)（單位：厘米）。

本題組訓(xùn)練，圖①的難度不大，主要涉及“合并求和”的思想方法，學(xué)生都能夠掌握；圖②涉及周長(zhǎng)的概念，學(xué)生對(duì)陰影部分的周長(zhǎng)概念模糊，不清楚該圖形的周長(zhǎng)應(yīng)該包括哪幾部分，有些學(xué)生則漏掉了圓的周長(zhǎng)部分。而且，圖B的面積部分更復(fù)雜，若是按照常規(guī)方法來(lái)解決，計(jì)算會(huì)很復(fù)雜，但學(xué)生的列式正確率還是比較高的。通過(guò)交流反饋，學(xué)生對(duì)于圖B的解題策略很令人欣慰：其一，周長(zhǎng)采用類似于圖A面積計(jì)算“合并求和”的策略，用“正方形的周長(zhǎng)+圓的周長(zhǎng)×2”來(lái)解決；其二，計(jì)算面積的解決方案就更精彩了，特別是有學(xué)生利用“正方形內(nèi)最大圓占其面積的78.5%，剩余部分占21.5%”的規(guī)律來(lái)解決問(wèn)題，令人既意外又開心。

圖A

圖B

科學(xué)哲學(xué)家?guī)於髡J(rèn)為：“學(xué)生是通過(guò)范例、習(xí)題等來(lái)掌握一門科學(xué)知識(shí)及其方法的，沒有范例，科學(xué)知識(shí)就不能清楚地表達(dá)出來(lái)，也無(wú)法為人們所掌握；沒有范例，人們也無(wú)法按照該門科學(xué)的要求去解決任何問(wèn)題，數(shù)學(xué)也不例外。”因此，教師應(yīng)摒棄以往“就題論題”的復(fù)習(xí)方法，引導(dǎo)學(xué)生把組合圖形的面積計(jì)算歸入知識(shí)系統(tǒng)后進(jìn)行深入的探究，使學(xué)生體會(huì)到“合并求和”“去空求差”的數(shù)學(xué)思想方法，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。

（責(zé)編藍(lán)天）

G623.5

A

1007-9068（2016）29-026