n維超平形體的體積比

英起志

（江蘇商貿職業學院，江蘇南通226011）

n維超平形體的體積比

英起志

（江蘇商貿職業學院，江蘇南通226011）

文章給出了n維超平形體體積比的計算公式，得出了它的漸進性質，并計算了部分超平形體的體積比。

n維超平形體；正方體；John橢球；體積比；漸進性質

在Rn中，我們通常把含有非空內點的緊致凸集稱為凸體，多胞形（polytope）是一類基本的凸體，它是由有限個超平面圍成的凸體。而n-超平形體（n-dimensionalparallelotope）是一種特殊的多胞形，它是2維平行四邊形、3維平行六面體到高維空間的推廣，后者可以分別叫做2-parallelotope和3-parallelotope，超矩形（orthotope）和超正方體（hypercube）都是特殊的超平形體。

凸體的體積比是凸體的重要特征之一，Rn中凸體K的體積比vr（K）定義為

其中ε是包含于K的橢球，vn（K）和vn（ε）分別表示K和ε的體積。1948年，Fritz John在著名的John橢球定理中證明了對于Rn中的任意凸體都包含體積最大的橢球，被稱為凸體的John橢球。R Howard在文獻［1］中證明了凸體的John橢球是唯一的。如果一個凸體的John橢球是歐氏單位球，則稱該凸體處于“John位置”，任何凸體都可以在仿射變換的作用下使之處于John位置。R Howard在文獻［1］中還證明了對于中心對稱的凸體Cn，存在橢球E（Cn的John橢球），使得

有了John橢球的概念，Rn中凸體K的體積比可以重新定義為

其中εK為凸體K的John橢球。仿射不變性是凸體體積比的重要性質。

引理1設Pn為n維超平形體，則其體積比

證明不失一般性，設n維超正方體Qn=［-1，1］n，Qn是一個中心在原點，邊長為2的n維超正方體，其體積vn（Qn）=2n。Qn的 John橢球為Rn中的歐氏單位球，記為體積比的仿射不變性，vr（Pn）=vr（Qn），又

Keith Ball在文獻［2］中證明了對于Rn中的所有中心對稱凸體，n維超正方體的體積比最大。因此，對于Rn中的任意中心對稱凸體cn，有。

由體積比的仿射不變性，利用引理1可以求出任意維超平形體（包括超矩形、超正方體）的體積比。此外，結合體積比的定義，在已知超平形體的體積的條件下，可以求出其John橢球的體積。

定理1設Pn為n維超平形體，則當n→+∞時，vr（Pn）→+∞，且隨著n的增加，vr（Pn）是嚴格單調遞增的。

證明由引理1和Stirling公式（當t→+∞時，Γ（1+t）～

所以1997年，G.D.Anderson和S.-L.Qiu證明了函數f（x）=）上單調遞增，2006年，張素玲等在文獻［3］中將該函數的單調遞增區間擴展到（0，+∞）。下面利用這一重要性質，證明當n增加時，vr（Tn）是嚴格遞增的。

把vr（Pn）看作是關于n的函數，不難發現，當n＞4時，它是單調遞增的。又通過計算易知vr（P1）＜vr（P2）＜vr（P3）＜vr（P4）。因此，對任意的正整數n，（Pn+1）＞vr（Pn），證畢。

部分n維超平行體的體積比的值見表1。

［1］R Howard.The John ellipsoid theorem［J］.University of South Carolina，1997.

［2］Keith Ball.Volume ratios and a reverse isoperimetric inequality［J］.Journal of the London Mathematical Society，1991，44:351-359.

表1　超平行體的體積比（保留3位小數）

［3］張素玲，陳超平，等.關于伽瑪函數的單調性質（英文）［J］.大學數學，2006（04）：50-55.

［4］Keith Ball.Ellipsoids of maximal volume in convex bodies［J］.Geometriae Dedicata，1992，41：241-250.

［5］Keith Ball.Volumes of sections of cubes and related problems［J］.Geometric Aspects of Functional Analysis，1989，13 76:251-260.

［6］John F.Extremum problems with inequalities assubsidiary conditions［M］.Courant Anniversary Volume.New York:Interscie nce，1948：187-204.

［7］英起志.凸體體積比的相關性質［J］.上海大學學報自然科學版，2008，14（4）：373-376.

A formula was given to calculate the volume ratios of n-parallelotope，the asymptotic property of the volume ratios was observed，and some values of volume ratios of n-parallelotope were calculated.

n-parallelotope；hypercube；John ellipsoid；volume ratio；asymptotic property

O186.5

A

2096-000X（2016）22-0253-02

英起志（1983-），男，江蘇連云港人，江蘇商貿職業學院，數學教研室主任，講師，碩士，研究方向為高職數學教學、凸體幾何。