延遲退休問題的數(shù)學(xué)模型

王新華

（深圳職業(yè)技術(shù)學(xué)院， 廣東 深圳 518055）

延遲退休問題的數(shù)學(xué)模型

王新華

（深圳職業(yè)技術(shù)學(xué)院， 廣東 深圳 518055）

根據(jù)國家養(yǎng)老保險政策給出了養(yǎng)老金收入和支出計算模型，在存在缺口且采用延遲退休策略的情況下，建立了延遲時間計算模型．利用漸次阻滯增長分段作Logistic回歸，并通過Matlab編程，得到了2015-2053年中國城鎮(zhèn)在崗職工人均工資的預(yù)測值．以2007年1月已滿22歲參保的新人為例，計算出在不同退休年齡、不同利率情況下的缺口值及退休和延遲退休時間．依據(jù)計算結(jié)果，給出了過渡期政府補(bǔ)貼、按年齡漸次放開二胎生育和個人帳戶資金購買低風(fēng)險理財產(chǎn)品的填補(bǔ)缺口對策．

養(yǎng)老保險；缺口；延遲退休；阻滯增長；模型

延遲退休是當(dāng)前社會的熱點議題，基于人口、資源、經(jīng)濟(jì)的可行性研究通常給出問題的定性描述[1-3]，基于缺口的研究通常呈現(xiàn)問題的定量依據(jù)[4,5]，基于統(tǒng)計分析的研究在呈現(xiàn)定量依據(jù)的同時也推斷問題的解決方略[6,7]，基于模型的研究則常提供量化算法[8,9].

本文綜合統(tǒng)計分析、模型和缺口，先用分段Logistic回歸預(yù)測出中國城鎮(zhèn)在崗職工的平均工資，然后根據(jù)國家政策建立養(yǎng)老金缺口和延遲退休時間計算模型，再利用“重心法”和Matlab編程計算出退休及延遲退休時間.

1 國外延遲退休經(jīng)驗

目前中國一般性退休年齡規(guī)定為“男性60周歲；女性干部55周歲；女性工人50周歲且工齡滿10年”[10].表1是和主要發(fā)達(dá)國家的平均預(yù)期壽命及退休年齡的對比[11,12].

日本作為全球平均預(yù)期壽命最長的國家，其法定退休年齡為60歲，實際退休年齡比較靈活，交滿25年的養(yǎng)老保險就可以退休.養(yǎng)老金有厚生和共濟(jì)之分，資金主要由企業(yè)和個人對半分擔(dān)，日本政府決定分別于2025和2030年前，將領(lǐng)取厚生年金的年齡分階段提高至65 歲.

表1 預(yù)期壽命和退休年齡數(shù)據(jù) （單位：歲）

美國采用的是“彈性退休制度”，其法定退休年齡按人口出生時間動態(tài)設(shè)定，且男女一致，設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)：1924-1937 年出生的人口統(tǒng)一執(zhí)行65歲的退休年齡；1938-1942 年出生的人口執(zhí)行每年等距延長2 個月的遞增退休年齡；1943-1954 年出生的人口統(tǒng)一執(zhí)行66 歲的退休年齡；1955-1959退休年齡[13].

澳大利亞的養(yǎng)老保險制度是按資產(chǎn)核算法發(fā)放養(yǎng)老金，職工無需自己交納養(yǎng)老保險，養(yǎng)老金也只發(fā)給窮人.加拿大的養(yǎng)老保險制度則相對穩(wěn)定，根據(jù)現(xiàn)在的法律，未來75年會保持不變.法國政府在2010年推行的新的退休改革制度希望將退休年齡從60歲推遲到62歲.英國實際平均退休年齡為男63.6歲和女61.7歲，英國政府計劃在2016年4月到2018年11月期間，把女職工的退休年齡提高到65歲，且男女并軌.德國的人口老齡化問題也較嚴(yán)重，政府決定從2012年1月1日起，用12年的時間把退休年齡延長一年，一年延長一個月，然后再用6年的時間把退休年齡延長一年，一年延長兩個月，到2030年把退休年齡延長到67歲[13].

不難看出，隨著人均壽命的增加，即使是發(fā)達(dá)國家也都面臨較為嚴(yán)重的人口老齡化問題，延遲或分階段延遲退休時間是各國政府的普遍對策.

2 養(yǎng)老金收入計算模型

我國目前的養(yǎng)老保險模式是社會統(tǒng)籌與個人賬戶相結(jié)合，社會統(tǒng)籌部分實行現(xiàn)收現(xiàn)付制，個人賬戶部分實行基金積累制.社會統(tǒng)籌部分的保費(fèi)，并不用于為個人進(jìn)行積累，而主要用于為退休人員發(fā)放養(yǎng)老金.同樣，參保人員退休之后所領(lǐng)取的社會統(tǒng)籌部分的養(yǎng)老金，也不是來源于自己以前繳納的保費(fèi)，而是來源于在職年輕人所繳納的保費(fèi)[14].

養(yǎng)老保險繳費(fèi)由用人單位和個人按一定的繳費(fèi)基數(shù)和繳費(fèi)比例交納，分屬統(tǒng)籌和個人帳戶.不同地區(qū)和單位的繳費(fèi)基數(shù)、繳費(fèi)比例及繳費(fèi)上下限都不盡相同，其一般計算公式為：

單位（個人）繳費(fèi)金額＝養(yǎng)老保險繳費(fèi)基數(shù)×單位（個人）繳費(fèi)比例，

其中，繳費(fèi)基數(shù)一般以上一年度本人工資收入為基礎(chǔ)，若本人工資收入：

1）低于社會平均工資60%的，則以社會平均工資的60%為繳費(fèi)基數(shù)；

2）高于社會平均工資300%的，則以社會平均工資的300%為繳費(fèi)基數(shù)；

3）介于社會平均工資60%和300%之間的，則以本人工資收入為繳費(fèi)基數(shù)[15].

假設(shè)職工的參保年齡a、退休年齡b、領(lǐng)取養(yǎng)老金年齡c和國家平均預(yù)期壽命n均為整數(shù)，且分別對應(yīng)參保的第一整年、工作的最后一整年、領(lǐng)取養(yǎng)老金年的第一整年和生命的最后一整年；單位和個人的繳費(fèi)比例分別為λ1和λ2；w0為已工作職工參保前一年的平均工資或新參加工作職工首月工資的12倍，wk為職工參保后的第k年的年平均工資，和分別為職工參保前一年和第k年的社會年平均工資，令

注意繳費(fèi)年齡a, a+1,…, a+(b-a)分別為參保后的第1, 2,…, b-a+1年，因此，職工參保后第k年的養(yǎng)老保險繳費(fèi)基數(shù)為kW，繳費(fèi)總金額為歸入統(tǒng)籌帳戶、歸入個人帳戶.

再注意到統(tǒng)籌帳戶中的保費(fèi)不用于積累，因此，個人的統(tǒng)籌帳戶收益總額可直接求和.

可得到養(yǎng)老保險繳費(fèi)總收入計算模型：

3 養(yǎng)老金支出計算模型

國家最新的養(yǎng)老金計發(fā)辦法[16]如下：

1）1998年1月1日以后參加工作、繳費(fèi)年限累計滿15年的，其養(yǎng)老金由基礎(chǔ)養(yǎng)老金和個人帳戶養(yǎng)老金兩部分組成；

2）1997年12月31日以前參加工作，1998年1月1日后退休，且繳費(fèi)和視同繳費(fèi)年限累計滿15年的被保險人，退休后按月領(lǐng)取基本養(yǎng)老金.其養(yǎng)老金由基礎(chǔ)養(yǎng)老金、個人帳戶養(yǎng)老金和過渡性養(yǎng)老金組成.

為了簡便，本文只估算第一種情形，即

基本養(yǎng)老金＝基礎(chǔ)養(yǎng)老金＋個人賬戶養(yǎng)老金；

基礎(chǔ)養(yǎng)老金＝退休前一年的年平均工資×（1＋平均繳費(fèi)指數(shù)）÷2×繳費(fèi)年限×1%；

個人賬戶養(yǎng)老金＝個人賬戶儲存額÷計發(fā)月數(shù).

其中，平均繳費(fèi)指數(shù)為歷年實際繳費(fèi)基數(shù)與上年社會平均工資之比的均值[16].

根據(jù)上述計算公式，在養(yǎng)老保險總收入計算模型的參數(shù)假設(shè)下，有：

1）計發(fā)月數(shù)m=12(n -c)，平均繳費(fèi)指數(shù)：

2）在領(lǐng)取養(yǎng)老金前個人賬戶儲存額為：

于是每年可領(lǐng)取的基礎(chǔ)養(yǎng)老金（J1）和個人賬戶養(yǎng)老金（J2）分別為

從c到n支出養(yǎng)老金：

即得基本養(yǎng)老金總支出計算模型：

4 退休延遲時間計算模型

當(dāng)1+=bc時，若： 0<-=JRG，則說明養(yǎng)老金出現(xiàn)缺口，缺口值為G-.如采用延遲退休策略，注意到退休后每年領(lǐng)取的養(yǎng)老金為，因此，需要延遲的時間T必須滿足：即得延遲退休時間計算模型：

5 缺口及退休時間估計

5.1 平均工資預(yù)測數(shù)組的構(gòu)成

中國城鎮(zhèn)在崗職工平均工資數(shù)據(jù)見表2[17].

美國高盛公司預(yù)測，2030年中國的人均收入可能達(dá)到韓國目前的水平（人均約20000美元）.《中國現(xiàn)代化報告2006》預(yù)計2050年中國的人均收入可達(dá)到中等發(fā)達(dá)國家水平，預(yù)期2050年國民最低月薪超1300美元，即年金超人民幣1300*12*7.9085≈12.3萬.《對世界“中等發(fā)達(dá)國家”的界定》[18]推算，2050年前后，中等發(fā)達(dá)國家人均GNP約10000美元合人民幣8.2萬.按照中國2050年的預(yù)期，參照韓國目前的水平，可假定2050年中國人均工資的最大容量為￥13萬，且間隔5年的容量差為￥1萬，即容量從2020年的￥7萬按間隔5年增長￥1萬的方式增加到2055年的￥14萬.

注意人均工資不可能無限增長，經(jīng)過一定時間后會因為環(huán)境、資源等因素的制約而出現(xiàn)阻滯增長，因此，其預(yù)測可利用Logistic回歸模型：

將2009-2014年的平均工資構(gòu)成數(shù)組：

Y0=[32763, 37147, 42452, 47593, 52388, 57346]，

表2 職工平均工資（單位：元）

以xm=7萬為最大容量，用MATLAB軟件作非線性回歸，得：

A=1.1897，B=0.3189，

及2015-2018年的預(yù)測值：

Y1=[ 59545, 62077, 64057, 65577 ].

以2013-2018年的平均工資實值和預(yù)測值構(gòu)成數(shù)組

類似地，讓最大容量xm= 8、9、10、11、12、 13、14并分別對應(yīng)數(shù)組Y3~Y9作非線性回歸，得到：

1）A=0.4987，B=0.1749，2019-2023年的預(yù)測值：

2）A=0.3194，B=0.0924，2024-2028年的預(yù)測值：

3）A=0.3341，B=0.0579，2029-2033年的預(yù)測值：

4）A=0.3749，B=0.0411，2034-2038年的預(yù)測值：

5）A=0.4238，B=0.0317，2039-2043年的預(yù)測值：

6）A=0.4751，B=0.0258，2044-2048年預(yù)測值：

7）A=0.5266，B=0.0219，2049-2053年預(yù)測值：

5.2 目前政策的缺口計算

由于個人工資在不同時段的不確定性，因此，在退休之前很難精確定位每個參保人的養(yǎng)老金缺口.然而，從平均的角度可將整個國家視為一人，即假設(shè)所有在崗職工都參保且每年不同人數(shù)參保人的工資取“重心”——均值，于是表2中 2000-2014年的實值和Y2至Y9中2015-2053年的預(yù)測值便構(gòu)成其年平均工資，這個工資同時也是社會的年平均工資，從而有：

注意到目前我國正常的大學(xué)畢業(yè)時間是22歲，平均預(yù)期壽命為73歲，且2006年前的繳費(fèi)比例會因時段與地區(qū)的不同而有差異，為了數(shù)據(jù)的簡明單一，取a=23，n=73，并假設(shè)參保時間為2007年1月——此時點政策規(guī)定的單位和個人的繳費(fèi)比例

再注意到為了規(guī)避風(fēng)險，個人帳戶養(yǎng)老金基本以存入銀行的方式儲存，假設(shè)r=1.5%、2%、3%，利用MATLAB程序計算，可得到50、55、60歲退休的缺口值和延遲時間，見表3.

不難看出，目前狀況下的養(yǎng)老金政策對2007年1月參保的“新人”在50和55歲退休產(chǎn)生缺口，缺口的大小與利率、退休年齡均成反比；在60歲退休時不存在缺口.

5.3 預(yù)期壽命為80歲時的退休時間估計

假設(shè)a=23，c=b+1，n=80，類似上述計算，可得到2007年1月參保的缺口值見表4.

由表4不難看出：退休年齡與利率成反比，r為1.5%時的退休時間為65歲，如64歲退休需延遲4個月；r為2%時的退休時間為64歲，如63歲退休需延遲6個月；r為3%時的退休時間為62歲，如61歲退休需延遲5個月.因此，當(dāng)r≤1.5%、預(yù)期壽命為80歲時的退休年齡至少為65歲.

表3 缺口和延遲時間估計

表4 n =80時的退休時間估計

6 補(bǔ)缺對策

養(yǎng)老保險是一項系統(tǒng)工程，對國計民生有著深遠(yuǎn)的影響.根據(jù)計算結(jié)果提供科學(xué)對策：

1）過渡期需政府補(bǔ)貼. 由表3的計算結(jié)果不難看出，預(yù)期壽命為73歲在2007年1月參保的“新人”60歲退休時不會產(chǎn)生缺口.換句話說，未來的養(yǎng)老金缺口是由“老人”和“中人”所造成，將責(zé)任轉(zhuǎn)嫁“新人”，不僅會影響社會和諧，也不利于國家的長遠(yuǎn)發(fā)展.因此，在過渡期政府對統(tǒng)籌帳戶的補(bǔ)貼就顯得尤為必要.

2）調(diào)控現(xiàn)行生育政策.養(yǎng)老金缺口主要源于統(tǒng)籌帳戶，現(xiàn)行的“計劃生育政策”嚴(yán)重制約“新人”數(shù)量.因此，有必要將現(xiàn)行的“計劃生育”政策改變?yōu)槎グ茨挲g段漸次放開的“調(diào)控生育”政策.

3）發(fā)揮個人帳戶理財功能.由表3和表4不難看出，退休年齡與個人帳戶記帳利率成反比，當(dāng)r為3%時，預(yù)期壽命73歲、退休年齡60歲不產(chǎn)生缺口；預(yù)期壽命80歲、退休年齡62歲不產(chǎn)生缺口.當(dāng)銀行利率低于3%時，讓個人帳戶的資金購買較低風(fēng)險的理財產(chǎn)品，以確保個人帳戶資金的收益率不低于3%便是一種科學(xué)舉措.

7 結(jié) 論

依據(jù)國家的養(yǎng)老保險政策，文中建立了養(yǎng)老保險總收入、總支出計算模型，在存在缺口且采用延遲退休策略的前提下，給出了延遲時間計算模型；利用分段Logistic回歸模型建立了中國城鎮(zhèn)在崗職工人均工資2015-2053年的預(yù)測值，預(yù)計2050年中國人均工資可達(dá)到￥95775元.

考慮到模型參數(shù)取值單一的簡便性，根據(jù)模型和所得到的數(shù)據(jù)，作為特例，通過MATLAB編程，對23歲在2007年1月參保的城鎮(zhèn)在崗職工計算出了在不同利率、不同退休年齡情況下的缺口值及延遲退休時間，得到了當(dāng)利率介于1.5%~3%時，預(yù)期壽命73歲、退休年齡60歲和預(yù)期壽命80歲、退休年齡65歲不會產(chǎn)生缺口.

如采用延遲退休策略：

1）r=1.5%情形：預(yù)期壽命73歲，退休年齡50歲需延遲5.3年，退休年齡55歲需延遲1.6年；預(yù)期壽命80歲，退休年齡64歲需延遲0.3年.

2）r=2%情形：預(yù)期壽命73歲，退休年齡50歲需延遲4.7年，退休年齡55歲需延遲1.2年；預(yù)期壽命80歲，退休年齡63歲需延遲0.5年.

3）r=3%情形：預(yù)期壽命73歲，退休年齡50歲需延遲3年，退休年齡55歲需延遲0.2年；預(yù)期壽命80歲，退休年齡61歲需延遲0.4年.

綜合計算結(jié)果，文中給出了過渡期政府補(bǔ)貼、二胎按年齡段漸次放開“調(diào)控生育”和個人帳戶資金購買較低風(fēng)險的理財產(chǎn)品以確保收益率不低于3%的填補(bǔ)缺口對策.

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Mathematical Models of Retirement Age Delay

WANG Xinhua

（Shenzhen Polytechnic, Shenzhen, Guangdong 518055, China）

According to the national endowment insurance policy, the author gives mathematical models to calculate pension income and expenditure. Facing the problem of ever increasing pension gap between the income and the expenditure, a model to calculate retirement age delay is created. The author applies the piecewise Logistic Regression and Matlab programming to calculate the predicted values of urban employees’average salary in China from 2015 to 2053. Taking a 22-year-old people who started insurance from January 2007 as an example, the author uses models and works out the pension gap, retirement time and retirement age delay on the basis of different retirement age and interest rate. Based on the calculation results, some suggestions are put forward to fill the pension gap by government subsidies during transitional period. The author also offers some useful advice on gradually lifting the ban of having a second child and individual account buying low-risk financial products.

endowment insurance; gap; retirement age delay; growth retardation; model

F249.2；C81

A

1672-0318（2016）01-0054-06

10.13899/j.cnki.szptxb.2016.01.012

2015-10-29

王新華（1962-），男，碩士，副教授，主要研究方向：數(shù)論、函數(shù)逼近論.