復(fù)數(shù)的概念教學(xué)的嘗試

浙江省慈溪市技工學(xué)校（慈溪杭州灣等職業(yè)學(xué)校） 胡偉杰

復(fù)數(shù)的概念教學(xué)的嘗試

浙江省慈溪市技工學(xué)校（慈溪杭州灣等職業(yè)學(xué)校） 胡偉杰

數(shù)學(xué)概念課一直以來比較難上，本文主要針對(duì)職高學(xué)生首次接觸到復(fù)數(shù)的概念所存在的問題與困難加以研究，介紹了一種可以讓職高學(xué)生更好地去接受、去認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)的課堂教學(xué)方法，盡可能讓學(xué)生不但能掌握復(fù)數(shù)的概念，為以后繼續(xù)學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的其他知識(shí)打好扎實(shí)的基礎(chǔ)，而且還能使他們真正理解人類歷史上數(shù)是如何發(fā)展和擴(kuò)充的，從而培養(yǎng)學(xué)生的求知欲和對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

復(fù)數(shù)；概念；教學(xué)；嘗試

一、現(xiàn)狀分析

中等職業(yè)學(xué)校學(xué)生普遍存在著重視專業(yè)課、輕視文化課的現(xiàn)象。從某種意義上說，絕大部分學(xué)生之所以選擇職校，也是由于本身文化課基礎(chǔ)弱。特別是數(shù)學(xué)課，很大一部分學(xué)生基礎(chǔ)較差，學(xué)起來確實(shí)有困難，原因在于有些學(xué)生從小學(xué)高年級(jí)開始就對(duì)數(shù)學(xué)不感興趣，慢慢落在“大部隊(duì)”后面，越學(xué)越?jīng)]興趣，越?jīng)]興趣越不想學(xué)，越不想學(xué)越學(xué)不進(jìn)去，最后導(dǎo)致一竅不通；而另一些學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)雖然感興趣，但一遇到困難就逃避，就想偷懶。他們共同的一點(diǎn)就是看不到數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值，因而學(xué)習(xí)起來提不起勁兒。

影響上述的原因是多方面的。中等職業(yè)學(xué)校的大部分學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)欠扎實(shí)，思維、靈活性受基礎(chǔ)欠佳等原因制約，對(duì)前后知識(shí)間的聯(lián)系、理解、應(yīng)用有一定難度，反應(yīng)速度相對(duì)較慢。面對(duì)這樣一種局勢，尤其擺在數(shù)學(xué)教師面前的是一種壓力與挑戰(zhàn)。能不能讓學(xué)生把高度抽象、邏輯性強(qiáng)的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為簡單、形象的數(shù)學(xué)，是學(xué)生能否學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。

筆者學(xué)校使用的數(shù)學(xué)教材是中等職業(yè)教育國家規(guī)劃教材人民教育出版社職業(yè)教育中心教材《數(shù)學(xué)》職業(yè)模塊理工類。在上完復(fù)數(shù)的概念這幾節(jié)內(nèi)容后，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)的有關(guān)概念掌握得特別差。普遍問題：學(xué)生對(duì)一些簡單的復(fù)數(shù)概念了解得很茫然，不知道復(fù)數(shù)到底是怎么回事，所以做題目的時(shí)候大部分只會(huì)簡單模仿，根本不理解，一旦碰到新的題目時(shí)，就不知所措。

為此，筆者又重新把數(shù)學(xué)課本、數(shù)學(xué)課教學(xué)大綱、數(shù)學(xué)參考書看了好幾遍，再對(duì)照自己的教學(xué)方案與學(xué)生的錯(cuò)誤題目，進(jìn)行反復(fù)思考與揣摩。發(fā)現(xiàn)了問題之所在：學(xué)生在接受新的數(shù)學(xué)知識(shí)的時(shí)候最好知道它的本質(zhì)，而且還要求在教學(xué)的過程中抓住幾個(gè)重要的環(huán)與點(diǎn)。

二、教材分析

復(fù)數(shù)概念這節(jié)內(nèi)容無論從職高的教材還是從普高的教材來看，其中的教學(xué)思想方法一般有以下兩種模式：

1.先為了解決實(shí)數(shù)集上矛盾的方程x2+1=0，引入一個(gè)新數(shù)i，給出了它需要滿足的兩條性質(zhì)：（1）它的平方等于-1，即i2=-1；（2）實(shí)數(shù)可以和它進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)原有加（乘）法運(yùn)算律仍然成立。在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步來研究復(fù)數(shù)的其他的有關(guān)知識(shí)。

2.同樣為解決方程x2+1=0，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，是無解的問題。先以x2=2在有理數(shù)上無解，以及正方形對(duì)角線的擴(kuò)充度量問題為例，人們把有理數(shù)擴(kuò)充到了實(shí)數(shù)系，說明了數(shù)擴(kuò)充的必要性，讓學(xué)生繼續(xù)思考能否把數(shù)從實(shí)數(shù)再次擴(kuò)充，再從有理數(shù)擴(kuò)充到了實(shí)數(shù)系這個(gè)過程中闡述數(shù)擴(kuò)充所需要的條件。并在實(shí)數(shù)擴(kuò)充到新數(shù)的過程中給出了復(fù)數(shù)的一般形式；最后，有了這個(gè)新數(shù)i后，進(jìn)一步來研究復(fù)數(shù)的其他的有關(guān)知識(shí)。

筆者多次比較了這兩種的教學(xué)思想模式，感覺它們各有所長。

對(duì)于前者模式，它的特點(diǎn)：簡單明了，基于“夠用、實(shí)用、適用”的原則，適合職業(yè)教育的特色。

而后者模式的特點(diǎn)在于：不但讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本原，“數(shù)學(xué)來自于生活，用之于生活”，而且還符合人的一般認(rèn)知規(guī)律：從簡單到復(fù)雜，從特殊到一般。

那么，能否把這兩種教學(xué)的模式結(jié)合起來，創(chuàng)造一種更適合職業(yè)學(xué)校學(xué)生的認(rèn)知與接受能力的教學(xué)方法呢？

筆者，原先一直在這一點(diǎn)上努力研究，結(jié)果陷入困惑之中，后來才發(fā)現(xiàn)，其實(shí)，要?jiǎng)?chuàng)造一種更適合職業(yè)學(xué)校學(xué)生的認(rèn)知與接受能力的教學(xué)方法，主要還是取決于：聯(lián)系學(xué)生的特點(diǎn)，了解學(xué)生的現(xiàn)狀，符合這批學(xué)生所在這個(gè)時(shí)期內(nèi)有特色的教學(xué)模式（包括教學(xué)手段、教學(xué)方法等多方面綜合在一起）。因此，我覺得教學(xué)模式應(yīng)該是靈活的、多樣的，而不是拘泥于某種方法或某種手段，一成不變的。以下，是筆者個(gè)人對(duì)這節(jié)課的一點(diǎn)構(gòu)想與嘗試。

三、教學(xué)嘗試

筆者首先把教學(xué)課時(shí)從1課時(shí)增加到2課時(shí)，主要是為了讓學(xué)生有更多的時(shí)間去認(rèn)識(shí)人類歷史上是如何把數(shù)一步步地?cái)U(kuò)充下去的這種思想方法，讓學(xué)生有種身臨其境的感覺及參與造數(shù)的過程的欲望，培養(yǎng)學(xué)生的興趣、激發(fā)學(xué)生的求知欲，以便更好地學(xué)習(xí)與掌握知識(shí)。

同時(shí)，我又把教材分解成以下幾個(gè)部分，提煉出幾個(gè)關(guān)鍵性問題：1.復(fù)數(shù)的導(dǎo)入要具有新穎性；2.復(fù)數(shù)形式的給出要具有易接受性；3.復(fù)數(shù)知識(shí)歸類要與例題具有緊密性與針對(duì)性；4.后續(xù)工作布置要具有鞏固性與延續(xù)性。

（一）復(fù)數(shù)的導(dǎo)入要具有新穎性

大家都知道“良好的開端是成功的一半”，所以一堂課的導(dǎo)入是至關(guān)重要的。

1.巧設(shè)懸念，設(shè)置問題

問題1：老師用巧妙的語言吸引學(xué)生，并在多媒體上演示出這樣一個(gè)問題：請(qǐng)大家在實(shí)數(shù)集上，解x2+1=0這個(gè)方程。追問：如何來解決這個(gè)問題呢？

2.針對(duì)目標(biāo)，簡單類比

問題2：繼續(xù)解方程：要求學(xué)生在有理數(shù)集上快速解x2=2這個(gè)方程。

3.聯(lián)系歷史，得到啟示

聯(lián)系歷史，介紹數(shù)系的發(fā)展過程（展示多媒體）并再一次呈現(xiàn)我們的目標(biāo)問題。

具體步驟：（1）從實(shí)際生產(chǎn)的需要：原始社會(huì)人類由于計(jì)數(shù)的需要，產(chǎn)生了自然數(shù)的概念，后來，進(jìn)一步建立了自然數(shù)的概念；為了表示具有相反意義的量的需要產(chǎn)生了整數(shù)；由于測量的需要產(chǎn)生了有理數(shù)；由于表示量與量的比值（如正方形對(duì)角線的長度與邊長的比值）的需要產(chǎn)生了無理數(shù)（既無限不循環(huán)小數(shù)）。（2）從解方程的需要推進(jìn)數(shù)的發(fā)展∶為了使方程x+5=3有解，就引進(jìn)了負(fù)數(shù)；為了使方程3x=5有解，就要引進(jìn)分?jǐn)?shù)；為了使方程x2=2有解，就要引進(jìn)無理數(shù)。那么為了使方程x2+1=0有解，應(yīng)該引進(jìn)什么數(shù)呢？注意數(shù)的擴(kuò)充也需要遵循一些原則（從以上事例中暗示）。

4.指出原則，接近目標(biāo)

把握數(shù)系擴(kuò)充的原則及指出現(xiàn)在所面臨的原則及問題。

5.動(dòng)感演示，引出復(fù)數(shù)

結(jié)合多媒體把實(shí)數(shù)集如何擴(kuò)充到一個(gè)新的集合的過程，形象而且有動(dòng)感地一一演示出來。

把握數(shù)系擴(kuò)充的原則及指出現(xiàn)在所的面臨的原則及問題。

（二）復(fù)數(shù)形式的給出要具有易接受性

復(fù)數(shù)形式的給出恰當(dāng)與否對(duì)于學(xué)生理解復(fù)數(shù)是相當(dāng)重要的，所以復(fù)數(shù)形式的給出不但要自然，而且要使學(xué)生容易接受，容易理解。如果按照課本直接給出：如果a、b是實(shí)數(shù)，那么形如a+bi的數(shù)叫作復(fù)數(shù)。這樣很難達(dá)到預(yù)期的目的。

在引入新數(shù)i后，方程x2+1=0在實(shí)數(shù)集無解的問題得以解決，但是這個(gè)實(shí)數(shù)集也相應(yīng)地?cái)U(kuò)充了。給出問題：根據(jù)這種規(guī)定，數(shù)的范圍擴(kuò)充后，會(huì)出現(xiàn)什么形式的數(shù)呢？回答這個(gè)問題，就要從數(shù)系擴(kuò)充的原則中一條實(shí)數(shù)可以和它進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)原有加（乘）法運(yùn)算律仍然成立。從這點(diǎn)上入手，并結(jié)合多媒體來給出復(fù)數(shù)形式。

第三步：把實(shí)數(shù)a與實(shí)數(shù)b和i相乘的結(jié)果相加，記作a+bi，如3+2i、。

再來分析以上這些數(shù)的各自特點(diǎn)：a+i可表示為a+1i；bi可表示為0+bi；實(shí)數(shù)a可表示為a+0i；i可表示為0+1i，發(fā)現(xiàn)這些數(shù)其實(shí)都可以用同一種表示，即為a+b（a、b為實(shí)數(shù)）形式；得到C=｛a+bi|a，b∈R｝復(fù)數(shù)集。它包括了所有的實(shí)數(shù)，符合了數(shù)系擴(kuò)充的一般原則，圓滿解決了問題。我們用這樣一種方式來給出復(fù)數(shù)的形式，同時(shí)注意師生互動(dòng)，可以得到事半功倍的效果。

（三）復(fù)數(shù)知識(shí)歸類要與例題具有緊密性與針對(duì)性

在上完本堂內(nèi)容后，我發(fā)現(xiàn)如果按照書本的順序先把一些復(fù)數(shù)概念、分類等知識(shí)都講給學(xué)生，而對(duì)知識(shí)并不做歸類與例題的鞏固，那么效果是相當(dāng)差的。所以，筆者認(rèn)為，對(duì)知識(shí)的歸類與例題之間應(yīng)具有緊密性與針對(duì)性。

1.正確理解復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部

例題：說出以下哪些是虛數(shù)？并指出它們的實(shí)部與虛部。

2.正確理解復(fù)數(shù)相等的概念

不能亂用復(fù)數(shù)相等的條件解題。用復(fù)數(shù)相等的條件要注意：①化為復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式z=a+bi（a，bR）；②實(shí)部、虛部中的字母為實(shí)數(shù)。結(jié)合以下例題讓學(xué)生真正搞懂。

（1）（x-1）+2i=3+yi，（x+2y） -i=6x+（x-y）i；

（2）（x+2）+yi=0，（x+y+1）-（x-y+2）i=0.

3.正確地對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行分類，弄清數(shù)集之間的關(guān)系

分類要求不重復(fù)、不遺漏，同一級(jí)分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一。

根據(jù)上述原則，復(fù)數(shù)集的分類如下：

例1：實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z=m+1+（m-1）i 是（1）實(shí)數(shù)？（2）虛數(shù)？（3）純虛數(shù)？

例2 ：實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z=（m2-5m+6）+（m2-3m）i=0是（1）實(shí)數(shù)？（2）虛數(shù)？（3）純虛數(shù)？

4.搞懂復(fù)數(shù)能否比較大小問題

教材最后指出：兩個(gè)實(shí)可以比較大小，但兩個(gè)復(fù)數(shù)，如果不全是實(shí)數(shù)，它們之間就不能比較大小。如2+i和3-i；3和i之間無大小而言。

實(shí)際上，根據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等地定義，可知在a=c，b=d兩式中，只要有一個(gè)不成立，那么a+bi≠c+di。兩個(gè)復(fù)數(shù)，如果不全是實(shí)數(shù)，只有相等與不等關(guān)系，而不能比較它們的大小。

（四）后續(xù)工作布置要具有鞏固性與延續(xù)性

要真正學(xué)好數(shù)學(xué)，掌握數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)，除了需要上課時(shí)認(rèn)真聽講、認(rèn)真跟著教師的節(jié)奏去接受新的知識(shí)，最重要的還在于學(xué)生自己課后重溫課本重溫知識(shí)點(diǎn)、并會(huì)歸類知識(shí)，做到獨(dú)立思考與獨(dú)立完成習(xí)題。

課后布置以下任務(wù)：

1.重溫課本。

2.歸類知識(shí)。

（1）數(shù)系的擴(kuò)充；（2）復(fù)數(shù)的概念；（3）復(fù)數(shù)相等及比較大小問題；（4）復(fù)數(shù)的分類。

3.常見的例題與解法。

4.完成一些相關(guān)的配套練習(xí)。

5.預(yù)習(xí)新知識(shí)。

四 、心得體會(huì)

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純地依賴模仿與記憶，動(dòng)手實(shí)踐，自主探索和合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。”并且把過程性目標(biāo)確定為“經(jīng)歷”“體驗(yàn)”和“探索”三個(gè)方面，要倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有的知識(shí)背景出發(fā)，向他們提供充分的從事數(shù)學(xué)活動(dòng)和交流的機(jī)會(huì)，讓他們?cè)谧约旱纳钪袑ふ覕?shù)學(xué)、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、探究數(shù)學(xué)、認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)和掌握數(shù)學(xué)。

依照標(biāo)準(zhǔn)并結(jié)合職高學(xué)生的實(shí)際情況對(duì)教材的內(nèi)容要加以適當(dāng)?shù)奶幚恚貏e是要使高度抽象、邏輯性強(qiáng)的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為簡單、形象的數(shù)學(xué)，而且對(duì)于一些學(xué)生很難、很混淆的知識(shí)要反復(fù)地進(jìn)行教學(xué)、進(jìn)行練習(xí)、進(jìn)行歸類、及時(shí)解決。

數(shù)學(xué)概念課的教學(xué)一直比較困惑，作為數(shù)學(xué)老師就應(yīng)該在自己的教學(xué)中不斷嘗試，不斷探索，不斷尋找一種適合學(xué)生的教學(xué)。

［1］中等職業(yè)教育國家規(guī)劃新教材人民教育出版社職業(yè)教育中心.數(shù)學(xué)（職業(yè)模塊理工類）［M］北京：人民教育出版社，2010.

［2］人民教育出版社課程教材研究所.數(shù)學(xué)［M］北京：人民教育出版社2007.