如何通過函數(shù)的單調(diào)性解決參數(shù)取值范圍的問題

江蘇省溧陽市埭頭中學(xué) 王麗萍

如何通過函數(shù)的單調(diào)性解決參數(shù)取值范圍的問題

江蘇省溧陽市埭頭中學(xué) 王麗萍

利用函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍問題，是學(xué)生比較棘手的問題，但也并不是無法可循，下面就幾個簡單的例題來闡述一下個人的觀點。

方法一：利用一元二次函數(shù)根的大小情況判斷函數(shù)的單調(diào)性，其實就是利用函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間D與函數(shù)在某一區(qū)間I上單調(diào)增之間的關(guān)系解決問題。

方法二：分離變量法。這種方法要注意在分離變量的過程中不等號的方向是否要改變，最后轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題。

但是有的時候函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)雖然是一個一元二次函數(shù)，卻不能因式分解。例如：

像這里的一元二次函數(shù)，就不能像上述例題一樣，簡單地通過因式分解求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間去解決問題，即使要求單調(diào)區(qū)間，也要通過求根公式，過于復(fù)雜。但是可以利用研究一元二次函數(shù)的對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，判斷端點值的取值情況來解決問題。

故a≥1。

通過上述兩個例題，我們可以發(fā)現(xiàn)對于研究已知某一三次函數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍問題，常見方法是兩種。方法一：利用它的導(dǎo)數(shù)是一元二次函數(shù)這一特征，結(jié)合一元二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，即區(qū)間根問題，解決問題。但這里面的處理方法有很多種，而這又恰恰是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的一個盲點，學(xué)生經(jīng)常會考慮得不全面，從而影響最后的計算結(jié)果。方法二：分離變量法，這種方法還是具有一般性的。一般情況下，可以說這種方法適用于任何一個函數(shù)。通過變量分離，最后把問題轉(zhuǎn)換成求一個新的函數(shù)的最值問題。當(dāng)然對于稍復(fù)雜點的函數(shù)，要求最值，還是要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性來判斷。但是這種方法雖然通用，也存在一個問題，就是在分離變量的時候，不等號方向是否有影響，這往往也是學(xué)生做題過程中容易忽略并且容易出錯的地方。

對于這類問題，學(xué)生還有一個容易疏忽的地方，或者說不能深刻理解的地方。下面我們通過一個變式來體現(xiàn)這一問題。

為什么會出現(xiàn)這樣的情況？對于最后求得的取值范圍，其實對于端點值我們還是要去檢驗一下的，因為端點值正好是使得。這一檢驗過程，在前兩題的解答過程中就沒有體現(xiàn)出來，并不是說明不需要檢驗。而這一檢驗過程的重要理論依據(jù)是：一般地，可導(dǎo)函數(shù)f（x）在某一區(qū)間（a，b）內(nèi)單調(diào)遞增（減）的充要條件是：（1）；（2）在（a，b）的任何子區(qū)間上不恒為0。學(xué)生往往會忽略第二個條件。

最后，我們可以發(fā)現(xiàn)，由函數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍問題，可以利用轉(zhuǎn)化與化歸的思想，將其轉(zhuǎn)化為“不等式恒成立問題”，最終即為“研究函數(shù)的最值問題”，也可以利用函數(shù)與方程的思想以及數(shù)形結(jié)合的思想，轉(zhuǎn)化為“函數(shù)圖像的交點問題”。