反其道而行之
——反比例函數(shù)y=（k≠0）中k的幾何意義的逆向探究

江蘇省常州市新北區(qū)龍虎塘中學(xué) 張 衛(wèi)

反其道而行之

江蘇省常州市新北區(qū)龍虎塘中學(xué) 張 衛(wèi)

此文對蘇科版反比例函數(shù)y=（k≠0）中k的幾何意義的探究打破常規(guī)，進(jìn)行了突破性的設(shè)計(jì)。教學(xué)設(shè)計(jì)帶領(lǐng)學(xué)生從一個面積一定的矩形（矩形邊長不為0）開始，借助幾何畫板軟件通過逆向探究從矩形面積到反比例函數(shù)圖像逐步引導(dǎo)同學(xué)們探究k的幾何意義。可以說這樣的設(shè)計(jì)樣式新穎，效果顯著。

反比例函數(shù)；k的幾何意義；逆向探究

k的幾何意義的探究似乎大家都是這樣處理而且看似簡單明了，但本人靜下心來思考了很長時(shí)間，覺得k的幾何意義的得出對于學(xué)生思維能力的拓展、對于反比例函數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識、對于學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的理解都有著不可替代的作用，于是本人對k的幾何意義探究過程作了全新的設(shè)計(jì)。

【探究片段教學(xué)設(shè)計(jì)】

一、片段學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.從實(shí)際出發(fā)，掌握反比例函數(shù)k的幾何意義，并能靈活利用這一知識點(diǎn)解決數(shù)學(xué)問題。

2.深刻領(lǐng)會函數(shù)解析式與函數(shù)圖像之間的聯(lián)系，體會數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化的思想方法。

3.體驗(yàn)數(shù)學(xué)的實(shí)用性，提高學(xué)數(shù)學(xué)的興趣。

二、片段教學(xué)過程

（一）幾何圖形與反比例函數(shù)

問題1：如果要你畫一個面積是12個平方厘米的矩形，它的長與寬固定嗎？

請?jiān)谙旅娴谋砀裰刑顚戇@個矩形可能的長與寬：

矩形的長2 …矩形的寬6 …

追問：這樣的矩形可以畫____個。

問題2：如果設(shè)這個矩形的長為x cm，寬為y cm，你能寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式嗎？

（二）探究反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義

情景1：用“幾何畫板”演示取不同的長與寬時(shí)，所畫的矩形的情形。

以點(diǎn)A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立如圖的平面直角坐標(biāo)系（如圖1）。

圖1

問題1：矩形的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)與矩形的長x（x＞0）與寬y之間有怎樣的關(guān)系？

用前面填寫的表格數(shù)據(jù)進(jìn)行繪圖（如圖2），進(jìn)一步理解矩形面積與點(diǎn)C坐標(biāo)間關(guān)系。

圖2

操作：利用幾何畫板進(jìn)行動態(tài)演示，觀察當(dāng)矩形面積是12個單位時(shí)點(diǎn)C在在運(yùn)動過程中所留下的軌跡。

問題2：當(dāng)點(diǎn)C在運(yùn)動過程中所留下的軌跡（如圖3）對應(yīng)怎樣的函數(shù)？

圖3

經(jīng)過上述過程得到一個結(jié)論：這樣的矩形面積等于反比例函數(shù)的系數(shù)k=12。（等待修正）

問題3：請你在函數(shù)的另一支（第三象限）上任取一點(diǎn)C’，過C’作到x軸的垂線段C’B’，過C’作到y(tǒng)軸的垂線段C’D’，設(shè)C’的坐標(biāo)為（x，y），你能嘗試著說明上面我們得到的結(jié)論仍然成立嗎？（再次嘗試）

問題4：如果當(dāng)反比例函數(shù)的圖像在二、四象限時(shí)（即k＜0時(shí)），上述情況仍然成立嗎？

圖4

修正結(jié)論：這樣的矩形面積等于|k|。

圖5

追問：如圖5，點(diǎn)Q在第四象限的圖像上，過Q作y軸的垂線段QR，垂足為R，所得三角形△QOR的面積與k有怎樣的關(guān)系？例題講解：如圖6，函數(shù)y=（x＞0）的圖像相交于點(diǎn)P（a，b），過P作x軸、y軸的垂線段PM、PN，垂足為M、N，所得矩形PMON的面積是___，周長是___。

圖6

在這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)中充分突出了知識點(diǎn)教學(xué)中的幾個重點(diǎn)與難點(diǎn)：

1.在教學(xué)設(shè)計(jì)中的C點(diǎn)的坐標(biāo)的幾何意義得到了充分的解析，讓同學(xué)們能更順暢地理解矩形面積與|k|的內(nèi)在聯(lián)系。

2.通過列表、描點(diǎn)、動態(tài)軌跡演示的方法，能大大降低同學(xué)們在學(xué)習(xí)k的幾何意義中存在的困惑，并且對反比例函數(shù)圖像有了更深層次的理解。

3.在教學(xué)設(shè)計(jì)中由特殊到一般，由特殊矩形到任意矩形、由k= 12引導(dǎo)到k≠0的任意數(shù)、由第一象限擴(kuò)展到所有象限，逐層遞進(jìn)為同學(xué)們的探究創(chuàng)造了層層階梯，對于同學(xué)們的探究過程有著良好的引導(dǎo)作用。

4.在設(shè)計(jì)中自然而然地突出了在不同象限中對不同情況的思考，對于同學(xué)們進(jìn)行分類思考，難點(diǎn)突破有著很好的作用。

5.本教學(xué)設(shè)計(jì)不是讓同學(xué)在記憶公式的基礎(chǔ)上進(jìn)行解題訓(xùn)練，而是力求同學(xué)們在探究的過程中理解知識點(diǎn)之間的本質(zhì)聯(lián)系，在這個理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行解題，在解題的過程中進(jìn)一步理解知識點(diǎn)。并且對學(xué)有余力的同學(xué)設(shè)計(jì)了一些主動成長的機(jī)會。

6.這樣設(shè)計(jì)的最大亮點(diǎn)也是與其他教學(xué)設(shè)計(jì)不同的地方是突出了同學(xué)們自主探究的過程，同學(xué)們在教師的引導(dǎo)下讓同學(xué)們以小組為單位，通過獨(dú)立思考、同伴互助、小組研討的方式行進(jìn)探究，對于知識點(diǎn)的內(nèi)化有很好的支撐作用。

經(jīng)過這樣的逆向教學(xué)設(shè)計(jì)后，本人在所在學(xué)校進(jìn)行了實(shí)踐，在教學(xué)過程中明顯感覺學(xué)生在這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)所營造的環(huán)境中同學(xué)們自主的探究過程得到了發(fā)揮，知識的內(nèi)化過程也是順其自然，可以說取得了非常好的教學(xué)效果。