基于數學現實，引導對比與類比，促進自主建構
——“平行四邊形的性質（1）”教學實踐與反思［1］

江蘇省海門市海南中學 施俊進

基于數學現實，引導對比與類比，促進自主建構
——“平行四邊形的性質（1）”教學實踐與反思［1］

江蘇省海門市海南中學 施俊進

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）指出：隨著數學學習的深入，學生所有積累的數學知識和方法就成為學生的“數學現實”。這些現實應當成為學生進一步學習數學的基礎和素材。利用學生的“數學現實”不僅有利于學生理解新學知識的內涵，還能更好地揭示相關數學知識之間的內在關聯，有利于學生從整體上理解數學，構建數學認知結構［1］。2014年11月21日，在南通市名師培養對象課堂展示活動中，筆者執教了“平行四邊形的性質（1）”一課（人教版《義務教育課程標準實驗教科書·數學》八年級下冊），基于學生已有對“四（多）邊形”等認識、方法的“數學現實”，通過引導學生對“平行四邊形”與“四（多）邊形”等內容的對比、類比，以學定教，把學生帶到各自的“最近發展區”，促進了學生的自主建構和學力發展。現將教學分析、教學設計、反思啟示整理成文，與各位同行交流。

一、教學分析

1.“平行四邊形”一章是在學生在前面學段學過的四邊形知識、本學段學過的多邊形、平行線和三角形有關知識的基礎上進行學習的，也可以說是在已有知識的基礎上做進一步比較系統的整理研究，也是平行線和三角形等內容的應用和深化。同時，等腰三角形的研究方法為探究平行四邊形提供了經驗和方法。而矩形、菱形、正方形的性質和判定都是在平行四邊形的基礎上擴充的，它們的探索方法也都是與平行四邊形的性質和判定的探索方法一脈相承的。

2.教科書沒有從一般的四邊形說起，而是在引言后直接進入“平行四邊形的性質（1）”的學習。另外，對于平行四邊形的3個性質（分兩課時），分兩步呈現。首先是通過一個“探究”，讓學生通過度量，發現平行四邊形的對角、對邊的數量關系，再利用兩個三角形全等來證明，并在后面安排了利用兩個性質的例題。這個過程，有利于學生知道合情推理與演繹推理是相輔相承的兩種推理形式（使證明成為學生觀察、實驗、探究得出結論的自然延續和必然發展，將實驗幾何與論證幾何有機結合）。但這樣安排對學生思維訓練、探究意識的培養是十分不利的。學生在前面學段已經認識了平行四邊形，知道平行四邊形的定義、面積的求法和平行四邊形是特殊的四邊形等（甚至知道平行四邊形的對邊相等、對角相等的性質。）。另外，學生在本學段研究四邊形內角和時，知道通過連接四邊形的對角線，將“四邊形問題”轉化為“三角形問題”來研究，等等。因此，筆者結合學生實際，對第1課時略做調整和整合，通過引導學生對“平行四邊形”與“四邊形”進行對比、類比，整體上探究平行四邊形的3個性質。目的是使學生在對比、類比中自主建構平行四邊形性質的方法體系。

二、教學設計與解析

基于以上分析，依據新課標理念，確定“平行四邊形的性質（1）”的教學目標、教學重難點和教學過程如下：

教學目標：（1）在合作探究的基礎上自主建構平行四邊形性質的方法體系；（2）掌握平行四邊形的性質，能初步運用性質進行簡單的計算或證明；（3）通過探究，積累學習經驗，感悟一些重要的數學思想方法，發展演繹推理的能力。

教學重點：平行四邊形的性質定理及其應用。

教學難點：探索并掌握平行四邊形的性質定理。

教學過程（簡錄）：

1.在回顧對比中提出課題

師：圖中的兩個圖形有什么聯系和區別？

生1：都是四邊形。

生2：左圖是一般四邊形，而右圖是平行四邊形。

師：為什么叫平行四邊形？

生3：平行四邊形的兩組對邊是平行的。

生4：平行四邊形是特殊的四邊形，它具有一般四邊形的一切性質。

生5：一般四邊形的兩組對邊不相等也不平行，而平行四邊形的兩組對邊既是平行的又是相等的。

師：你已經知道平行四邊形的哪些內容？

生6：兩組對邊分別平行的四邊形叫作平行四邊形。

生7：平行四邊形的內角和為360°，外角和也是360°。

生8：平行四邊形的面積等于底乘以高。

生9：平行四邊形的對邊相等；平行四邊形的對角相等。

生10：對邊都相等的四邊形是平行四邊形。

生11：矩形、菱形、正方形也是特殊的平行四邊形。

……

師：看來同學們對平行四邊形的知識了解不少，本章我們將系統地學習平行四邊形、矩形、菱形、正方形的相關內容，再用邏輯推理的方法證明有關結論。（提出課題）

【設計意圖：通過對比“一般四邊形”與“平行四邊形”的聯系和區別，為知識、方法的遷移打下伏筆。通過問題“你已經知道平行四邊形的哪些內容”，便于從學生“數學現實”出發，使得教學從學生實際出發，更有針對性；同時為學生對平行四邊形的感性認識上升到理性認識做好準備（通過邏輯推理的方法證明有關結論）。】

2.在嘗試探究的基礎上，引導學生在類比和對比中自主探究平行四邊形的性質

師：根據我們以往的學習經驗，你認為如何學習平行四邊形？可以從知識、方法、過程等角度來說明。

生12：根據學習等腰三角形的經驗，我認為應該要學習平行四邊形的定義、性質和判定。

生13：根據四邊形（或多邊形）的研究方法，我認為研究平行四邊形應該連接對角線，將平行四邊形轉化為三角形問題來研究。

師：我們已經知道：兩組對邊分別平行的四邊形叫作平行四邊形。如何表示圖中的平行四邊形呢？

生14：我由三角形的表示方法想到，平行四邊形是否也可以用“微型”的平行四邊形來表示。（生14在教師的要求下板書“ABCD”）

師：生14很聰明，用三角形的表示法類比得到平行四邊形的表示法。由圖，四邊形ABCD滿足什么條件時就是平行四邊形呢？反過來，已知平行四邊形ABCD，那么它的對邊有何關系呢？

生15：在四邊形ABCD中，若AB∥CD，AD∥BC，則四邊形ABCD是平行四邊形。

生16：若四邊形ABCD是平行四邊形，則AB∥CD，AD∥BC。

師：正確！這說明了平行四邊形的定義和其他幾何定義一樣，具有判定與性質的雙重作用，既是最原始的判定，又是最基本的性質。（師板書如下）

師：請同學們畫平行四邊形ABCD，并說明你是根據什么來畫的。

師：大家都知道平行四邊形是特殊的四邊形，它具有一般四邊形的一切性質。那么它有哪些特殊的性質呢？如何來研究平行四邊形的特殊性質呢？

生17：我認為抓住平行四邊形的“兩組對邊分別平行”這個條件來研究平行四邊形的特殊性質。

生18：我認為類比四邊形（或多邊形）的研究方法，通過作平行四邊形的對角線來研究平行四邊形的特殊性質。

師：如圖，分別作了一般四邊形的和平行四邊形的對角線，一般四邊形轉化為兩個三角形，它們的形狀、大小有沒有特殊的關系？平行四邊形所轉化為兩個三角形呢？由此可得到平行四邊形哪些特殊的性質呢？

（學生獨立思考1分鐘后）

師：請同學們帶著自己的思考，按照以下要求在小組內交流：（1）你得到的結論有哪些？（2）說明你是怎么思考的？（3）還有什么方法證明這些結論？（4）證明關鍵是什么？根據什么？（5）如何用符號語言表示這些性質？（6）如果連接兩條對角線呢？

（學生在小組內交流后全班交流，并得到以下共識，師板書平行四邊形性質的文字和符號語言）

結論：平行四邊形的對邊相等；平行四邊形的對角相等；平行四邊形的對角線互相平分。

證明的關鍵：連接對角線，證明三角形全等；根據平行四邊形的定義（兩組對邊分別平行，由平行得到內錯角、同位角、同旁內角的關系）。

動畫演示：將平行四邊形繞其對角線的交點旋轉180°。

師：你能通過平行四邊形是中心對稱圖形的驗證來說明平行四邊形的性質嗎？

【設計意圖：通過類比和對比，平行四邊形的性質自然而然呈現出來。通過類比，使得學生的研究有內容，有方向，更有方法，遷移能力、數學思考得到發展。通過對比，不僅讓學生從“一般”中得到“特殊”，而且使得學生自主、合作、交流、表達與聆聽等能力得到充分發展（尤其是自主學習的能力）。同時在學生通過獨立思考、與人交流等獲取數學知識、基本技能、研究和解決問題的策略、方式方法的過程中，生動地體驗了數學活動充滿的探索與創造的活力，并獲得了成功的喜悅，激勵了自主探究、合作學習的積極主動性，發展了學力。通過問題“你得到的結論有哪些？說明你是怎么思考的？”，使學生對平行四邊形的認識從感性認識上升到理性認識（從不規范推理到規范推理，從合情推理到邏輯推理）；同時讓學生用不同的思路和方法證明同一個結論，可以激發學生對數學證明的興趣，發展學生思維的廣闊性和靈活性［2］。】

3.簡單應用，強化理解，掌握性質

師：你能編一條關于“求角度”的題目嗎？

（學生編的題目大致有以下幾種類型：（1）若∠B-∠A=60°，求ABCD的四個內角；（2）若∠A∶∠B=7∶2，求ABCD的四個內角；（3）若∠A+∠C=240°，求ABCD的四個內角……）

師：你是如何想到編這樣的題目的？

生19：因為平行四邊形的對邊平行，那么鄰角互補。只有互補關系不能求出具體角度，因此我增加一個條件，可通過解方程組求出角度。

生20：我也是這樣考慮的。

生21：思路和他們一樣，不同的是我根據“平行四邊形的對角相等”來編題的。

師：很好。能抓住題目中平行四邊形的“對角相等”和“鄰角互補”這幾個關鍵來編題。

（1）你能求出哪些線段的長度？根據平行四邊形的哪個性質？（2）你能編一條關于“求邊長”的題目嗎？（處理方法同例題1）

變式2：若將條件“AB=10”改為“AB-BC=2”呢？

追問：原題中若增加條件“AD⊥BD”，你還能求出哪些線段的長度？你是如何求的？

變式：若題中的條件都不變，將EF繞點O轉動，當EF與平行四邊形的一組對邊的延長線分別相交時，以上的結論是否成立？說明你的理由。

【設計意圖：例題的“開放”，在一定意義上保證了課堂教學過程的“開放性”。通過題目變式，增強學生綜合運用知識解決問題的能力。通過學生自主編題，引導學生抓住例題的“題眼”，即找到例題中所包含數學知識的實質，抓住關鍵所在進行編題，不僅有利于提高學生參與學習的積極性和對數學的理解，而且有利于提高學生提出問題和解決問題的能力；同時，通過學生主動參與、獨立思考、與人交流、表達反思等活動，豐富了學生的數學活動經驗，提高了思維水平［3］。】

4.反思回顧，共同總結

（1）我們是從哪幾個方面來研究平行四邊形性質的？

（2）我們是如何來研究平行四邊形性質的？

（3）通過學習，我們積累了哪些重要的學習方法和經驗？

（師：研究四邊形的基本思想方法是連接對角線，把四邊形問題轉化為三角形問題，連接特殊四邊形的對角線得到的三角形之間也會相應產生特殊的關系，研究它們之間的特殊關系也就能得到特殊四邊形之間的關系。）

如何來研究矩形、菱形、正方形這些特殊的平行四邊形性質呢？

【設計意圖：從知識、方法、過程等設計課堂小結，揭示平行四邊形的本質特征，并建構了平行四邊形的知識與方法體系。完善的知識與方法體系對學生后續的學習有深遠的指導意義，通過類比猜想“如何來研究矩形、菱形、正方形”的相關內容，促使學生將已知的內容很自然地遷移到未知的內容上去，遷移能力、探究意識得到充分發展，思維含量得到提升，激發了學習積極性，促進了學生的全面發展。這樣，更加能凸顯人的創造性和人的主體性［4］。】

5.課后分層，深化理解

課后作業分必做題、選做題和思考題（對不同層次的學生要求不同限于篇幅，略去）。

三、教學反思

1.“用教材教”對教師提出更高的要求

新課程改革的“教材觀”不僅是“教教材”，更多的是“用教材教”。這就要求教師必須精通教科書和“理解學生”，能根據學生的具體情況和本人教學水平，合理重組教材內容，基于學生“數學現實”展開教學，使得教學成為：為“學”而“教”，“教”為“學”服務（即“教”要高于“學”）。即應當把學習者原有的知識經驗作為新知識的生長點，引導學習者從原有的知識經驗中，生長新的知識經驗（建構主義教學論觀點）。因為了解學生知道平行四邊形的“定義、面積，乃至對邊相等、對角相等”等內容和會將“四邊形轉化為三角形”的經驗，并明確了本節內容的主干知識（主干知識就是能生成知識、有自生性的知識。顧泠沅教授稱之為“長效的核心知識”，李庾南老師稱主干知識是教學生成的立足點、出發點和生根點）是“平行四邊形與三角形的關系”，才確定了通過將“一般和特殊”進行“類比、對比”展開課堂教學。有了明確的主干知識，學生的自主研究才有明確的方向（教師只是起指引作用）而且有能力去自主研究，只要給學生充分的時間和空間，并允許學生的研究走偏甚至錯誤（只是教師要有耐心地去幫扶）。“用教材教”對教師提出更高的要求，這不僅要求對教材進行合理重組，而且要讓學生在“開放”的教學時空中，富有個性地動態生成、拓展、發揮和最大程度地發展。

2.數學的核心是思維訓練

對學生的思維訓練體現在教學的任一環節中，尤其在知識的產生、應用過程中。引導學生通過對平行四邊形與等腰三角形、一般四邊形的類比和對比，充分地讓學生經歷知識的形成過程，有利于激發學生的學習興趣，理解數學的實質，發展思考能力；有利于了解知識之間的關聯，形成良好的思維習慣。在平行四邊形性質的探索與證明過程中，引導學生用不同思路和方法去推理證明，不僅使得學生的證明過程及其表述更加符合邏輯、清晰而有條理，而且通過對不同思路和方法的比較和討論，發展學生思維的廣闊性和靈活性［2］。在知識的應用過程中，通過題目變式和學生自主編題，有利于幫助學生理解數學知識之間的聯系，綜合應用能力得到提高。而引導學生自主編題，更是突出了學生在學習活動中的主體地位。學生在“自主編題”的過程中積極參與、獨立思考、合作交流，不斷地反思調整，數學思考、問題解決和情感態度方面得到發展，并逐步感悟數學思想，積累了數學活動經驗。通過問題“你是如何想到編這樣的題目的”，引導學生“要編題，先破題再找題眼”，拓展了學生思維，使得學生通過“編題”的引領，追求了習題教學成果的最大化。

3.數學學習要始終保持學生個人在學習

《標準》）指出：認真聽講、積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流等，都是學習數學的重要方式。不管采用何種學習數學的方式，都離不開學生的獨立思考。離開了學生的個人學習，小組學習和全班學習將變成一種追求熱鬧的形式。因此，在教學過程中的每個階段都遵循了先個人學習，再小組學習，最后全班學習交流的學習方式（或者個人學習后直接全班學習交流）。當然，傾聽、思考、表達、畫圖、計算、演練等都是個人在學習。小組學習是合作學習的一種形式，是建立在個人學習的基礎上進行的，是個人學習的深化拓展。學生在小組學習中，一人展示與表達，他人傾聽、思考驗證等，每個人進行不同形式的自主學習。照這樣來理解，全班學習的基礎還是個人學習（只是每個人學習方式和深度不同而已）。顯然，我們不能硬性規定哪種學習方式，應該根據學習內容和學生在學習過程中的實際反應，有機、靈活、交替地運用個人學習、小組學習、全班學習的形式（簡稱“學法三結合”的形式）來實現自主學習和合作學習。只有在數學學習過程中始終保持學生個人在學習，學生才能自主建構、完善自己的認知結構和經驗世界，同時促進了自身的學力發展［2］。

4.凸現類比、對比功能，優化思維品質

不少知識在內容或形式上有相似之處，若能使學生將已經掌握的舊知識或思維方式遷移到新知識上去，學生更具有探究新知的欲望。此時，如果設置幾個問題放手讓學生去探究解決，可驅動學生的思維并鍛煉思維的靈活性。通過“類比”，平行四邊形的研究內容、方法等“躍然紙上”；通過“對比”，從“一般”中出現了“特殊”，平行四邊形的特殊性質自然而然浮出水面；再通過“類比”，矩形、菱形、正方形的相關內容“呼之欲出”。因此，在數學學習中，凸現類比、對比的功能，不僅可以激發學習積極性，而且可以優化思維品質，充分發展遷移能力、探究意識。但要注意的是，在類比學習時要思考：怎樣類比著學新知？哪些內容可以直接遷移？哪些內容要對比著學？哪些內容要進行調整？如何內化？等等。因此，對比、遷移、調整、內化是類比教學的難點［5］。

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2012.

［2］李庾南.“自學·議論·引導”教學論［M］.北京：人民教育出版社，2013.

［3］劉東升.追求適合初中學生的教學深度［J］.中學數學月刊，2014（9）：20-25.

［4］施俊進.基于“原有基礎”，引導“整體架構”，促進“協同發展”——“二次根式（一）”課堂教學實踐與反思［J］.中學數學（初中版），2013（1）：4-7.

［5］成云，王文清.類比引路正反互助［J］.中學數學教學參考（中旬·初中），2012（1-2）：27-31.

［1］該文系江蘇省教育科學“十二五”規劃立項課題“初中數學‘比翼式’課堂教學范式的構建研究”（課題立項編號：D/2011/02/101，主持人：施俊進）階段性研究成果之一。

施俊進（1972- ），男，江蘇海門人，中學高級教師，江蘇省特級教師。