例談轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

寧夏西吉中學(xué) 何永安

例談轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

寧夏西吉中學(xué) 何永安

所謂化歸與轉(zhuǎn)化思想，是指把需要解決或未解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題通過(guò)適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行轉(zhuǎn)化，歸結(jié)為已解決或者比較容易解決的問(wèn)題，最終求得問(wèn)題圓滿解答的一種手段和方法。它貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終，比如，一般與特殊的轉(zhuǎn)化、常量與變量的轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化、相等與不等的轉(zhuǎn)化、空間問(wèn)題與平面問(wèn)題的轉(zhuǎn)化、實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化，等等。下面僅通過(guò)幾例說(shuō)明轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用。

一、函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化

函數(shù)與方程都是重要的數(shù)學(xué)思想，雖然概念不同，但它們之間有著密切的聯(lián)系。方程可看成特殊的函數(shù)，而函數(shù)又是方程的拓展。函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)?函數(shù)y=f（x）圖像與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)?方程f（x）=0的實(shí)數(shù)根。所以許多有關(guān)方程問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題來(lái)解決，反之，也有許多函數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為方程來(lái)解決。

例1 設(shè)二次函數(shù)f（x）=（m-2）x2-6mx+6m-15與X軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，其中至少有一個(gè)交點(diǎn)在X軸的負(fù)半軸上，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

分析：本題直接解要分三種情況，顯然比較麻煩。若注意到至少有一個(gè)交點(diǎn)在X軸的負(fù)半軸上的反面卻只有一種，即兩個(gè)交點(diǎn)都在X軸的非負(fù)半軸上，先求這種情況下m的范圍，再求其補(bǔ)集即可。

解：由以上分析，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程（m-2）x2-6mx+6m-15=0有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，且至少有一個(gè)根在X軸的負(fù)半軸上，其反面為兩個(gè)根都在X軸的非負(fù)半軸上……