論柯西不等式在高中數學中的應用

甘肅省靖遠縣第一中學　石福祿

論柯西不等式在高中數學中的應用

甘肅省靖遠縣第一中學石福祿

柯西不等式是數學中一個非常重要的不等式，在代數、幾何等方面應用非常廣泛，常常被當做解題基礎，可以利用條件快速得出結論。若能夠靈活運用柯西不等式，可以使一些問題巧妙地得以解決，我們要適當地構造使用它的條件，以達到最終目的。

柯西不等式；變式；應用

一、柯西不等式的主要變形公式

柯西不等式有多種變形，已經成為現在許多數學理論的出發點。掌握幾種常見的柯西不等式的變形，能夠讓我們對柯西不等式有更全面的認識，在解決數學問題時，也可以快速使用合適的變形形式解題。以下列舉常見的幾種柯西不等式的變形形式：

二、利用不同的變形方法解決問題：

下面舉例說明如何根據題目選擇柯西不等式的變形形式來解決問題，即柯西不等式的變形技巧。

1.等價變形

將要解決的不等式問題作等價變化，構造出n個實數的平方和與另n個實數平方和的乘積的形式。

2.換元求解

有時根據所證不等式的結構特征，適當換元，可以轉化成為容易應用柯西不等式的結構特征，快速解決問題。

由柯西不等式，得：

三、柯西不等式的應用

1.解決距離問題

證明：取直線上的任意一點Q（x，y），得Ax+By=-C，且A2+B2≠0。

由柯西不等式得：

2.證明等式和不等式

在等式問題上，可以探索出新的方法，另辟蹊徑。柯西不等式既然含有等號，就可以用來解決等式問題。……