論柯西不等式在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

甘肅省靖遠(yuǎn)縣第一中學(xué)　石福祿

論柯西不等式在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

甘肅省靖遠(yuǎn)縣第一中學(xué)石福祿

柯西不等式是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的不等式，在代數(shù)、幾何等方面應(yīng)用非常廣泛，常常被當(dāng)做解題基礎(chǔ)，可以利用條件快速得出結(jié)論。若能夠靈活運(yùn)用柯西不等式，可以使一些問題巧妙地得以解決，我們要適當(dāng)?shù)貥?gòu)造使用它的條件，以達(dá)到最終目的。

柯西不等式；變式；應(yīng)用

一、柯西不等式的主要變形公式

柯西不等式有多種變形，已經(jīng)成為現(xiàn)在許多數(shù)學(xué)理論的出發(fā)點(diǎn)。掌握幾種常見的柯西不等式的變形，能夠讓我們對柯西不等式有更全面的認(rèn)識，在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，也可以快速使用合適的變形形式解題。以下列舉常見的幾種柯西不等式的變形形式：

二、利用不同的變形方法解決問題：

下面舉例說明如何根據(jù)題目選擇柯西不等式的變形形式來解決問題，即柯西不等式的變形技巧。

1.等價(jià)變形

將要解決的不等式問題作等價(jià)變化，構(gòu)造出n個(gè)實(shí)數(shù)的平方和與另n個(gè)實(shí)數(shù)平方和的乘積的形式。

2.換元求解

有時(shí)根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征，適當(dāng)換元，可以轉(zhuǎn)化成為容易應(yīng)用柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征，快速解決問題。

由柯西不等式，得：

三、柯西不等式的應(yīng)用

1.解決距離問題

證明：取直線上的任意一點(diǎn)Q（x，y），得Ax+By=-C，且A2+B2≠0。

由柯西不等式得：

2.證明等式和不等式

在等式問題上，可以探索出新的方法，另辟蹊徑。柯西不等式既然含有等號，就可以用來解決等式問題。同時(shí)利用不等式來解決等式問題，可以讓我們深刻領(lǐng)會到等式和不等式之間的相通性，培養(yǎng)辯證思維。

例4：已知正數(shù)a，b，c滿足a+b+c=1，

總之，柯西不等式形式多變，為我們解決高中的數(shù)學(xué)問題提供了極大的便利。深刻認(rèn)識柯西不等式的定義并且能夠掌握其變式，靈活運(yùn)用到解決問題的過程中，將對我們在高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有很大的幫助。

［1］姚允龍.數(shù)學(xué)分析［M］.第二版，上海復(fù)旦大學(xué)出版社，2007.

［2］斐禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型解題方法［M］.第二版，北京高等教育出版社，2006.

［3］蔡玉書.系列講座之八——柯西不等式［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2010.