科學合理“探究”，巧抓問題實質——點評：二次函數圖像平移再探究

陜西師范大學附屬中學 曹 艷

科學合理“探究”，巧抓問題實質——點評：二次函數圖像平移再探究

陜西師范大學附屬中學 曹 艷

近期，筆者有幸參加了陜師大附中畢業年級課堂教學研討活動之初中數學研討活動，聆聽了展示課《二次函數圖像平移的再探究》，感觸頗深，現對該課例做以點評，供各位同行參考指正。

一、教學過程

1.巧妙導入，由淺及深

教師：將原點（0，0）向左平移1個單位長度，再向下平移4個單位長度，得到哪個點呢？

學生：（-1，-4）。

教師：點的平移變化規律是“右加左減，上加下減”。

教師：將拋物線y=x2向左平移1個單位長度，再向下平移4個單位長度后，拋物線的函數表達式是什么？

學生：y=（x+1）2-4。

教師：二次函數圖像平移，函數表達式的變化規律是“左加右減，上加下減”。那么，平移前后的拋物線有什么相同點和不同點？

學生：平移前后的拋物線開口大小、方向相同，位置不同。

2.合理探究，發散思維

探究一：拋物線平移后經過一點

教師：將拋物線L：y=x2+2x-3平移后，使它經過坐標平面上的一點O（0，0），應該怎樣平移？你能說出幾種平移方式？平移后的拋物線有幾條？

（學生眾說紛紜，直接看出來沿x軸方向或者y軸方向平移）

教師：你是將哪個點平移到了點O（0，0）？

（學生根據自己的平移方法明確由哪個點平移到O（0，0）點）教師：我們把這個情況一般化。將拋物線L：y=ax2+bx+c平移后，使它經過坐標平面上的一點（m，n）。平移后的拋物線有幾條？回答問題，并說明理由。（教師通過幾何畫板進行演示）

學生：可以有無數種平移方法。

教師：拋物線上每一個點都可以看作平移到了（m，n） ，就有無數種平移方法，這樣的拋物線有無數條。

探究二：拋物線平移后經過兩點

教師：將拋物線L：y=x2+2x-3平移后能同時經過O（0，0），M（-1，-1）嗎？

（學生根據圖形特點可以直觀地看出將原拋物線的頂點（-1，-4）向上平移3個單位長度到（-1，-1）時，原拋物線上的點（0，-3）便平移至點（0，0），符合題意）

教師追問：能同時經過O（0，0）、N（1，2）嗎？請說明理由。.

（此時直觀看不出平移方法，學生小組展開討論）

教師：這種方法我們稱之為“待定系數法”，是解決該類問題的常規方法。還有沒有別的方法呢？

小組2：我們小組將問題轉化為尋找平移至（0，0），（1，2）的那兩個點，確定平移方法。設原拋物線上的點分別平移至點O、N處，設，因為O與N的水平距離為1，故O與N、與縱坐標差距一樣，因此有a2+4a-（a2+2a-3）=2，，即向右平移個單位長度，向上平移個單位長度。

教師繼續追問：能同時經過O（0，0）、P（0，3）嗎？為什么？

學生：不能。因為O、P橫坐標相同，不能滿足函數表達式。

教師：我們也把這個情況一般化。將拋物線L：y=ax2+bx+c平移后，能經過坐標平面上的任意兩點（m1，n1）、（m2，n2）嗎？回答問題，并說明理由。

（學生進行小組探究）

當m1=m2時，由n1≠n2知無解。故兩點橫坐標相同時，平移后不能經過這兩點；

當m1≠m2時，有唯一解。故兩點橫坐標不同時，平移后能經過這兩點，且只有一條。

探究三：拋物線平移后經過三點

教師：將拋物線L：y=ax2+bx+c平移后，能經過坐標平面上的任意三點嗎？

學生：不一定。

教師：可由這三個點求出平移后的拋物線表達式，比較與原拋物線的二次項系數a是否相同；還可以將兩點代入求出表達式中的b和c，判斷第三個點是否在這個拋物線上。

3.精彩小結，方法升華

教師將本節內容作以小結，從數和形兩方面使學生認識到拋物線平移的實質，體會平移過程中的變量與不變量。

二、課后感悟

二次函數是初中數學的重要內容，其研究思想對學生以后進一步研究其他函數起到了指導作用。二次函數的學習還有助于學生感受數形結合思想，培養學生利用數形結合解決問題的能力。教學過程中依照函數研究步驟，從定義、表達式、圖像以及性質（對稱性、最值、增減性、開口方向等）對二次函數進行研究。通過前面學習，學生具備求解二次函數表達式的能力，即能夠通過給定的三個獨立條件求解二次函數的表達式，為本節課的學習做好鋪墊。

平移變換、軸對稱變換、中心對稱變換、旋轉變換是初中階段學習的四個全等變換。本節課以拋物線為出發點，以平移變換為手段，讓學生感受拋物線平移過程中的變量與不變量。學生需要理解平移過程中a的不變性（a決定拋物線的開口大小和開口方向）才能無障礙地完成本節課的學習。本節課以探究活動貫穿始末，探究問題逐層遞進，學生的主觀能動性得以較大程度的發揮。同時，小組形式的探究活動，為學生思維的發散提供了更好的平臺，不但有助于學生發揮集體的智慧，還能夠促進每個小組成員之間的相互幫助，避免個別學生掉隊。科學、合理、有效的小組探究，成為本節課一大亮點。通過本節課的學習，學生能夠深入體會二次函數表達式和圖形之間的關系，尤其是表達式中a、b、c對函數圖象的影響，感受數形之間的內在聯系。

小組1中，學生設出平移后二次函數的一般式，進而用待定系數法進行求解。這里我們還可以利用二次函數的頂點式來進行求解，即設平移后的二次函數表達式為y=（x-h）2+k，將O、N代入即可求出函數表達式。這樣一步一步由淺及深，學生通過數和形兩個方面感受拋物線平移的實質，既解決了探究問題，又提高了學生知識、方法和思維能力。