一道試題的解答與探究之旅

☉山東省莒南縣嶺泉鎮初級中學　汲廣川

一道試題的解答與探究之旅

☉山東省莒南縣嶺泉鎮初級中學汲廣川

一、緣起

題目如圖1，在正方形ABCD中，M、N分別為AD、BC的中點，連接CM，BN，交點為P，連接AP.求證：AP=AB.

圖1　

二、問題的解法與探究

分析：此題條件簡單明了，結論單一，是學生常見的題型；曾作為八年級期末考試的倒數第二大題，很多學生在解答此題時“折腰”，找不到解題思路.

在九年級復習時，筆者又展示了此題，讓學生進行探究、交流.

師：觀察圖形，你們有什么發現？

學生1：通過條件發現基本圖形有正方形，△CDM≌△BCN；結論是證明線段相等，結合圖形只要證明∠ABP=∠APB，或者證明線段所在的三角形全等即可.

師：這位同學由結論，想到等腰三角形的判定，想到證明三角形全等，想法非常好，那么由條件“中點”，你們又想到什么？

學生討論交流展示：

（1）想到倍長中線，構造三角形全等或構造平行四邊形；

（2）想到等腰三角形的三線合一；

（3）想到三角形的中位線定理；

（4）想到直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半；

（5）想到中點坐標公式.

師：通過條件，你們還有什么不同的發現嗎？

學生2：CM=BN，CM⊥BN.

學生3：三角形相似.

三、學生展示思路

劉健壯同學展示了兩種思路：

思路1：（構造三角形全等和直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半）如圖2，延長CM，BA交于點E，易證△CDM≌△EAM，所以CD=AE.因為CD=AB，所以AB= AE.因為EP⊥BN，所以

圖2　

圖3　

思路2：如圖3，取BC的中點E，連接PE，AE.

因為AD=BC，M是AD中點，所以AM∥CE，AM=CE，所以四邊形AMCE是平行四邊形.所以AE∥CM.因為BN⊥CM，所以AE⊥BP.因為E是BC中點，所以BE.所以OP=OB，所以AP=AB.

李汶龍同學展示：

思路3：（構造全等三角形和直角三角形中邊的數量關系構造線段的垂直平分線）如圖4，過點A作AE⊥BP，垂足為E.因為∠ABE+∠CBP=90°，∠CBP+∠BCP=90°，所以∠ABE=∠BCP，易證△ABE≌△BCP（AAS），所以BE=CP.在Rt△BCN中，tan所以所以.所以BE=PE.所以AP=AB.

圖4　

圖5　

劉健壯同學又給出一種方法：

我是這樣想的，如圖5，連接BM，易證△MBC是等腰三角形.如果能證明△MBC～△ABP，就能證明AP=AB.

思路4：從圖形中易證△BAM≌△BCN（SAS）.所以∠BAM=∠BCN.所以∠ABP=∠MBC.所以△BAM～△BPC.所以即，所以△BAP～△BMC，所以

因為MC=MB，所以AP=AB（構造三角形相似和等腰三角形）.同學們不自覺的鼓掌！

又有一位同學給出了想法：由直角三角形中的數量關系：BC=2CN，若能用正方形的邊長表示出AP的長即可.

師生共同分析：構造直角三角形.

思路5：如圖6，過點P作PE⊥BC，PF⊥AB，垂足分別為E、F，因為CP⊥BP，所以∠CPE=∠CBP.因為設CE=a，則PE=2a，BE=4a.所以BC=5a.在Rt△APF中，AF=3a，PF=4a，所以AP=5a.所以AP=AB.

圖6　

圖7　

最后，教師給出另外兩種解法：

思路6：因為∠MAB=∠MPB=90°，以BM為直徑作圓（見圖7），則點A、P在圓上.所以∠AMB=∠APB，∠DMC=∠ABP.因為△CMD≌△BMA（SAS），所以∠AMB=∠DMC.所以∠APB=∠ABP.所以AP=AB.

思路7：解析法，以A為坐標原點，直線AB為x軸建立平面直角坐標系，求出直線CM、BN的一次函數解析式，從而求出交點坐標P，進而求出線段AP的長，從而確定AP=AB.

四、解題后的反思

一堂好課的標準是生成的課堂，學生的思維拓展到哪里？是由學生自己決定的，教師不能按照主觀的意愿去杜撰學生的思維，過度拓展，這會造成學生理解問題的依賴性，則無法完成獨立思考.如何打造生成性的課堂？

1.研究是上課的前提

課堂上學生的只言片語反映的是學生思維的火花，如果沒有老師的欣賞，思維的火花將會熄滅，老師只有對題目有很深層次的研究才能發現有價值的東西，才能駕馭好課堂.研究則可避免淺層次的講解，深入淺出則是一種理想境界，融會貫通是教師研究的必然結果.

一堂課，一道題的研究真正透徹了，學生的靈性才能彰顯出來.

2.交流是思維延伸的有效途徑

有很多題目老師講的太早了，一場及時雨沒下到點上，學生心中的困惑還沒產生，我們就綁架了學生的思維.聆聽是一種美德，更是一種功德，我們要做這種功德.其實“不憤不啟”離我們很遠.我們的課堂有時是在剝奪學生的思考.教師在講解之前要讓學生去交流，其交流促進學生的思考，找到困惑，教師通過聆聽才能“有的放矢”地點撥或講解.學生在課堂上的各種表達，使我們受益匪淺.原來我們只是熟悉自己的解法，多少年來我們一直沿用的解法如果和學生的想法比一比，才知道有多大差距.當我們佩服自己學生的想法時，我們教育的結果就成形了.課堂是大智慧的產生地，我們的收獲不比學生少！

3.交流是需要培養的，而不是讀解題步驟，更不是對答案

（1）表達能力的培養.學生明白說什么，怎么說，怎樣展示自己的思考過程，都需要培養.沒有深層次的思考就沒有深層次的交流.生動的課堂不一定是“思維超市”.

（2）聽的培養.表達是思考的結晶，思考則是聽的延續.聽不限于對方說的哪句話，是聽別人的觀點，聽的目的是讓自己的思維得以延續，或者把自己從困惑中“渡”出來.聆聽是一種美德，更是一種功德.

（3）拓展是教師終極想法.學生所想的，我們所了解的學情，都是為了拓展做準備的.把一道題的來龍去脈弄清楚，所涉及的知識點想清楚.知識的靈動性是體現在解決問題上，知識的綜合是在解決問題的過程中形成的.知識就是力量，是因為利用知識解決了問題才體現出力量的.

一堂課上完，我們沒有離開學生的想，學生的思考受到老師的無限引導，思維得到無限拓展……我們有魚和水的感覺，這一切都是和諧的感應.生成的是美好的.