初等解法解決“涉高問題”——從兩道“涉高問題”的解答談起

☉江蘇省如皋市磨頭鎮磨頭初級中學　張蘭梅

初等解法解決“涉高問題”——從兩道“涉高問題”的解答談起

☉江蘇省如皋市磨頭鎮磨頭初級中學張蘭梅

初等解法指利用初中階段所掌握的知識解決相關問題的方法；“涉高問題”指需要利用高中知識解決或利用高中知識解決起來明顯簡單易懂的題目.筆者在近期教學實踐中發現在部分中考試題中，特別是在一些練習冊或習題集中出現了一些涉及高中知識的題目或利用高中知識解決起來思路比較容易貫通的題目；更有少數教師為了提高學生的解題效率，直接補充相關的高中知識，這讓筆者陷入了深思，下面結合具體的題目給出一些思考，不當之處，敬請指正.

一、教學案例

案例1如圖1，直線y= x+2與拋物線y=ax2+bx+6相交于和B（4，m）兩點，P是線段AB上異于A、B的動點，過點P作PC⊥x軸，交拋物線于點C.

圖1　

（1）求拋物線的解析式；

（2）當△PAC為直角三角形時，求點P的坐標；

（3）在直線AB下方的拋物線上，是否存在這樣的點Q，使得點Q到線段AB的距離最遠？若存在，請求出這個最遠距離；若不存在，請說明理由.

解析：（1）y=2x2-8x+6.（過程略）（2）①當點P為直角頂點時，∠APC=45°≠90°，舍去.②當點C為直角頂點時，顯然點C與點A關于二次函數的對稱軸x=2對稱，易得點C的坐標為所以點P的坐標為

③當點A為直角頂點時，此時過點A作直線AB的垂線交x軸于點D，過點A作AE垂直于x軸（如圖2），易得△AEF～△DEA，所以AE2=EF·ED.

圖2　

圖3　

反思：上述問題由于直角頂點不確定，因此需要分類討論.在分類討論的③中涉及了兩直線垂直的情況，作為教師容易想到的就是利用高中知識（兩直線垂直且斜率存在時，兩直線斜率的乘積為-1），甚至在教學過程中也給學生灌輸這種方法，顯然這種做法是不合適的.上述問題在解決過程中，用初中知識也是非常容易解決的，只需要構造如圖3所示的基本圖形即可，需要注意的是點D一般為與坐標軸的交點，然后利用初中階段的核心知識（相似三角形）便可以順利解決這類問題.

（3）過點P作PQ垂直于x軸，交拋物線于點Q，過點Q作AB的垂線，垂足為M（如圖4）.

設點Q的坐標為（n，2n2-8n+6），P點的坐標為（n，n+則PQ=（n+2）-（2n2-8n+6）=-2n2+9n-4=所以當時，PQ取到最大值

圖4　

反思：上述問題的求解，對于教師而言最容易想到的是設直線AB的平行直線系，然后與二次函數聯立，當判別式為零時（相切），直線與二次函數只有一個交點，此時這個交點即為距離線段AB最遠的點.在教學過程中，有的老師也給學生補充了上述解法，殊不知在初中的教學中并不涉及上述知識，顯然這種做法是超綱的.事實上，只要將上述問題進行靈活轉化即可，即將求線段MQ的最大值轉化為求線段PQ的最大值，顯然這種做法對學生而言是簡潔易懂的，在教學過程中值得提倡，也是對盲目采用高中做法的有利回擊.

下面在給出如案例1中第（3）問的類似問題：

圖5　

解析：設線段AB所在直線的解析式為y=ax+b，將點A、B的坐標代入得解得所以AB所在直線的解析式為

反思：上述題目的求解過程最容易想到的方法如案例1（3）的反思中所述的方法，殊不知，此時如果應用這種解法，到最后一定要驗證切點的橫坐標在1≤m≤4這個范圍內，前面的計算過程和算理對學生而言已經是很難理解了，如果再加上這一步，這明顯超出了初中數學課程標準的要求，更是超出了學生的認知負荷，增加了學生的負擔.然而，上述求解過程中卻應用反比例函數中|k|的幾何意義進行了靈活的轉化，學生理解起來，比較容易，最重要的是利用初中階段的核心知識便可以解決，值得一線教師思考.

二、思考

上述兩個教學案例中的“涉高問題”都利用初中階段的核心知識得以順利解決，而且整個解題過程看上去比較完美，給人以美的享受.

有的專家提出，在初中階段的教學中適當地補充高中階段的知識是可行的，筆者認為這應該是對學有余力的學生而言的，不應該大面積地進行講解高中階段的知識.對學有余力的學生適當補充高中階段的知識也應該注意“度”的把握，不應該將高中階段的知識簡單下放，只告訴學生“結果”，而沒有“過程性”的講解；只讓學生簡單的模仿，而不能融會貫通，理解其本質，就上述兩個案例中所涉及的高中知識而言，真正使學生理解，即使是優生，也是非常困難的.因此，在初中階段的教學過程中不應該簡單地將高中的知識下放，而應該利用初中階段的知識，特別是核心知識進行解決.

上述案例只是其中的一部分，歡迎更多的老師參與進來，引起更多一線教師的積極思考和積極轉變.