在初中數學活動課折紙教學中學習尺規作圖

王相飛

【摘 要】新課程改革后，教材對學生學習尺規作圖的要求是：理解作圖原理和掌握使用作圖工具技能。尺規作圖要求教師教學中把握適當的尺度，教學中的難度主要是學生的實際操作。學生在基本作圖法的單項應用是可以訓練的，但是對于基本作圖法的綜合應用和考察思維能力上有明顯的缺陷。這與傳統的數學課堂教學的嚴肅、枯燥，教學形式單一有一定關系。筆者通過設計折紙教學活動，讓學生親自動手參與實踐，調動學生的學習興趣，同時也豐富了師生教與學的方式。

【關鍵詞】折紙；尺規作圖；教學方式

一、設計活動課的背景

在初三的總復習學到圖形操作實踐專題時，我給學生們準備了一道有關圓的作圖題，如圖，直線AB、直線CD是不平行的兩條直線，現在作圓O與直線AB、直線CD都相切，以下是甲、乙兩名同學的作法：

（甲）（1）過點D，作直線L與直線AB垂直，且交直線AB于F

（2）取DF中點O

（3）以O為圓心，OF長為半徑畫圓，則圓O即為所求。

（乙）（1）設直線AB與直線CD相交于Q。

（2）作DQB的角平分線。

（3）過點C，作一直線M與直線CD垂直，且交直線L于O。

（4）以點O為圓心，線段OC長為半徑畫圓，則圓O即為所求。

師：對于甲、乙兩位同學的作法，同學們怎么看？

當各小組的答案紙收來批改時，學生們的表現很讓我驚訝，是什么原因會讓學生課堂的效果如此不理想。我頓時陷入沉思，分析原因，尋找對策。

在查閱復習資料后，經過比對，發現圓的作圖是個教學難點，再加上與角平分線、中線的結合，只有少數優秀的學生能夠獨立完成，其他同學在老師或同學的幫助下才能完成。如何有效地解決學生解題困惑，這是我思考尺規作圖課堂改變教學模式的起點。

用分析、猜想等手段去學習幾何作圖，是一條重要的途徑，從學生的幾何作圖基礎及生活的經驗作為思考的起點，重新設計幾何作圖的課堂教學方式。

二、設計活動課的目的

（1）在折紙情景中，把角平分線和中垂線等知識墨化到基本圖形的性質判定中去。

（2）使學生在折紙活動中，能聯系幾何圖形變換，激發學習的興趣。從而讓大部分學生能簡潔地使用工具，例如：直尺、圓規作角平分線。

（3）充分挖掘學生想象力，讓作圖工具特性所產生的效果是學生無法在日常生活經驗積累中得到。在折紙活動中讓學生意識到作圖工具動作雖然有限，但可以變化出很多應用，掌握作圖步驟。

三、折紙活動課教學過程

1.情景引入——童年的回憶

師：同學們，你們還記得在小時候和伙伴們一起玩折紙游戲嗎？比如折紙飛機、小紙船等都有意思。我們在平時接觸比較平常的紙張是書本、作業本、稿紙、打印紙等，它們的形狀都是長方形的。如第一個圖，折起一個角，就得到了一個直角三角形。要求學生拿起紙張模仿，使學生聯想到游戲中的折紙方法。

折紙飛機這個過程中，重復地應用對稱和平分的概念，體驗數學之美。

2.設置折紙問題

折紙能用來指導作圖嗎？這是很多人曾經難以釋懷的問題，數學家yates指出所有歐氏幾何作圖問題本質上均為尋找所有交點的相對位置。折紙動作所產生的折痕視為直線，多邊形紙張的邊亦視為直線，經紙張折疊后可重合的兩線段或兩角都視為相等。當一個作圖問題中所有交點的相對位置都確定后，此作圖問題可視為完成。

活動一：折出通過兩點的直線

師：請看幻燈片展示的題目要求

（學生以學習小組為單位，觀察、嘗試、探索折紙的方法，發表學生的觀點，由兩個同學來評價。）

教師展示如圖A1、A2、A3。

轉化：尺規作圖可用直尺畫線如圖A4，讓學生初步感受折紙與尺規作圖的聯系。

活動二：在直線L上取一點，A，過點A作直線L的垂線。

教師要求學生在紙上畫好題目的幾何語言，有了前一題的體會，學生的表現好了很多，折紙的速度也加快了。各小組匯報折紙情況后，邀請學生作評價。展臺展示圖B1、B2、B3。

通過活動二的折紙讓學生體會垂線的作法以及對折的意義，及時展示圖B4。

活動三：過直線外一點向已知直線L引垂線。

教師在引導學生做活動三時，由于難度提升，刻意提醒直線重合，學生順利達到預期目標，各學習小組匯報后，展臺展示圖C1、C2、C3。

在原對折的基礎上加深為直線的重合，圖C4的展示讓學生對折與中垂線的聯系，中垂線尺規作圖理論依據在圖C2中體現清晰。

活動四：在直線L上取一點A′，使得AB=BA′.

師：現在，我們考慮線段相等的折紙操作是如何實現的。在折紙時注意圖中線段的位置和線段長度的關系。

學生發現：折紙時，點A在L上是關鍵（圖D1、D2、D3）。

師：請同學們將折紙打開，用筆描上，用心體會折紙對應點的意義，以及用圓規使用的線段特征（圖D4）。將對應定點的連線段大小關系和圓規的使用特征進行比較。

得出結論：利用圓規復制線段。

活動的目的是讓學生折疊角度得到角平分線的概念。當展臺顯示題目內容后，還沒等教師提示學生就異口同聲的回答出答案。折法如圖E1、E2、E3所示。

如圖E4所示，通過圓規三次畫弧，取兩組線段相等，從而得出三角形全等（SSS），證明尺規作圖角平分線的正確性。而兩條直線折疊，處處顯示線段相等，至于長度取值隨宜。

活動六：交流體驗

師：這節課同學們知道了什么？有什么體會和困惑嗎？

生：折紙蘊含很多數學道理，感覺數學就在生活中。以前在學習中垂線和角平分線的畫法，雖然會畫，但不知其原理，今天終于明白了。

整個課堂活動都以折紙——討論——展示——反思作圖的順序重復進行，讓學生通過折紙體會尺規作圖的理論依據，反思作圖困難的原因。讓學生相互辯論和說明，形成合作、競爭的良好學習氛圍。

最后教師布置一道課外作圖題，讓學生將折紙學到的知識來破解。

如圖F1，已知△ABC，請利用尺規作圖作出箏形BPQR，使得P、Q、R分別在AB、AC、BC上符合題目條件的草圖

由折紙幫助思考，折紙過程中重復應用對稱概念，可引導學生觀察草圖的對稱性質。箏形為線對稱圖形，對角線BQ為其對稱軸。

四、折紙活動課的教學反思

從折紙活動課的教學過程中，經歷了情景設置、問題設置、結論歸納、交流體驗、作業等各環節，通過各環節把折紙的理論依據提煉出來，指導尺規作圖的實施。從教學方式看，本節課主要強調學生從實際生活經歷出發，在折紙活動中學習尺規作圖，但是此項活動畢竟只限于對紙張的翻折和設計，停留在表面，這就需要教師正確地引導使學生從直觀操作到抽象思考轉變，師生同時感受數學目前已經成熟的操作方式的發現歷程，不僅豐富了學生的情感體驗，也讓學生感受數學成果來之不易和對數學家的崇敬之情。

從問題設置看，由易到難，梯度明顯。由于是圖像操作題，問題設置相對簡單、直接，給與學生暗示操作方法，使學生有興趣地了解教師提問，從而達到讓學生由積極參與折紙活動向幾何性質的學習和尺規作圖原理的探索轉變。

由于部分學生幾何意識薄弱，主要原因在于雙基落實過程中，深度不夠。也就是說幾何推理和操作的綜合能力不到位，需要教師在教學過程中把握好難度分寸，給學生補充一些能激化思維、提升思維的內容，以達到對基本作圖法的靈活應用。

數學折紙課教學有效避開數學抽象這一難點，選取與學生日常生活密切相連的情景，使思維能力“直觀——抽象”自然轉變。折紙課不僅讓學生感受到數學的對稱美，也讓他們體驗數學邏輯的嚴密性，從“直觀幾何”過渡到“證明幾何”來驗證數學是一門追求嚴謹的課程。

透過折紙學習尺規作圖的，需要比一般學習方式多記憶折紙動作的轉換，學生表示在思考尺規作圖時，喜歡用折紙的方式思考，在尺規作圖過程中，會很自然地聯想到基本作圖所對應的折紙動作，讓學生多一種選擇，樂趣。

參考文獻：

[1]顧泠沅.《教學任務變革》.載《教育發展研究》，2001年第10期.

[2]張安軍.《發現數學之美》.東北師范大學出版社，2013年5月.