von Neumann熵基本性質(zhì)簡述

孫仕海

摘要：熵是信息論中一個十分重要的概念，能夠用于刻畫信源的平均信息量。但和經(jīng)典信息論中的香農(nóng)熵不一樣，量子信息中信源的不確定性需要使用von Neumann熵來進(jìn)行刻畫。同時，von Neumann熵在糾纏判別、糾纏度刻畫等方面也具有十分重要的地位。因此，我們希望通過本文對von Neumann熵的性質(zhì)進(jìn)行介紹，能夠幫助研究生更好地掌握該概念。

關(guān)鍵詞：量子信息;von Neumann熵;信息論

中圖分類號：G642.0 ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ?文章編號：1674-9324（2016）43-0279-02

一、定義

設(shè)一個量子系統(tǒng)的狀態(tài)由密度算子

=pi|ψ〉〈ψ|（1）

其中，pi≥0，pi=1，|ψ〉是系統(tǒng)空間內(nèi)的純態(tài)。但此處需要注意的是不同的|ψ〉不一定相互正交。因此，可以定義這個系統(tǒng)的von Neumann熵為

S（ρ）=-trρlogρ（2）

如果不同的|ψ〉互相正交（不失一般性可以假設(shè)其已經(jīng)歸一化），那么von Neumann熵可以寫為

S（ρ）=-〈ψm|ρlogρ|ψm〉（3）

對方程（3）進(jìn)一步的推導(dǎo)后可以得到如下的表達(dá)式

S（ρ）=-〈ψm|pi|ψiδin〈ψn|logpj|ψj〉δjm

=-〈ψm|pn|ψn〉〈ψn|logpm|ψm〉

=-pmlogpm（4）

其中pm為密度算子的本征值。

從von Neumann熵的定義可以看出，其和經(jīng)典信息論中的香農(nóng)熵具有相類似的含義，能夠用于定量分析信源的平均信息量，是忠實(shí)傳送信源編碼態(tài)所需要的最小信道量子位數(shù)目。同時，從公式（4）可以看出，當(dāng)量子態(tài)處于完全混合態(tài)時（此時|ψi〉互相正交），von Neumann熵退化為香農(nóng)熵。

二、基本性質(zhì)

1.非負(fù)性。

S（ρ）=-trρlogρ≥0（5）

其中，當(dāng)且僅當(dāng)量子系統(tǒng)處于純態(tài)時等號成立。該性質(zhì)十分明顯，而且證明過程十分簡單，在此就不進(jìn)行證明。講解時可以作為練習(xí)讓學(xué)生自己推導(dǎo)。

2.von Neumann熵在幺正變換下不變，即

S（UPU-1）=S（ρ）（6）

3.如果量子系統(tǒng)ρ存在M個非零的本征值，那么

有S（ρ）≤logM（7）

當(dāng)且僅當(dāng)所有非零本征值都相等時等號成立。

4.對于復(fù)合系統(tǒng)AB而言，如何系統(tǒng)處于純態(tài)，那么必然有S（A）=S（B）（8）

該性質(zhì)是von Neumann熵一個比較重要的性質(zhì)，下面我們對其進(jìn)行簡單的證明。對于復(fù)合純態(tài)系統(tǒng)AB而言，其狀態(tài)波函數(shù)可以進(jìn)行Schmitt分解，即其波函數(shù)可以寫為|ψAB〉=|φ〉|φ〉，那么可以有

S（ρA）=S[TrB（|ψAB〉〈ψAB|）]=-PilogPi

S（ρB）=S[TrA（|ψAB〉〈ψAB|）]=-PilogPi（9）

因此可以得證。

5.假設(shè)量子體系的密度矩陣可以寫為

ρ=i pi ρi，并且pi處于相互正交子空間，那么有

S（pi ρi）=H（pi）+piS（ρi）（10）

證明：假設(shè)λ和|e〉是密度算子ρi的本征值和相應(yīng)的本征矢量。注意到piλ和|e〉是pi ρi的本征值和本征矢，因此

S（pi ρi）=-piλlog（piλ）

=-pilogpi-piλlogλ

=H（pi）+piS（ρi）

得證。

上面的性質(zhì)（5）是von Neumann熵一個十分重要的性質(zhì)，需要幫助學(xué)生理解清楚，并要求學(xué)生能夠進(jìn)行證明。同時，由該性質(zhì)，我們可以推導(dǎo)出下面的結(jié)論，即假設(shè)ρi是系統(tǒng)A的密度算子集合，|i〉是系統(tǒng)B的正交態(tài)，那么有S（pi ρi？茚|i〉〈i|）=H（pi）+piS（ρi）。這個推理可以用于正交復(fù)合系統(tǒng)熵的計算。

6.三角不等式。設(shè)ρAB是不同的量子系統(tǒng)A和B中的一個狀態(tài)，那么兩個系統(tǒng)中的聯(lián)合熵滿足不等式

S（A，B）≤S（A）+S（B）S（A，B）≥|S（A）-S（B）|（12）

第一個方程當(dāng)A和B系統(tǒng)不存在關(guān)聯(lián)時等號成立，第二個方程的等號成立沒有簡單的關(guān)系式。三角不等式是von Neumann熵中另一個重要的性質(zhì)，在判斷不同系統(tǒng)熵大小時具有廣泛的應(yīng)用。

三、小結(jié)

上面我們從定義和基本性質(zhì)兩個方面對von Neumann熵進(jìn)行了介紹，這些概念和性質(zhì)是學(xué)習(xí)von Neumann熵時必須掌握的基本性質(zhì)，對于后面量子信息基本理論的學(xué)習(xí)具有十分重要的基礎(chǔ)作用。因此在授課時對于比較復(fù)雜的證明過程一定要讓學(xué)生自己動手推導(dǎo)，這樣才能夠更好地掌握這些基本性質(zhì)，這對于后面的學(xué)習(xí)十分重要。

Basic Concept of von Neumann Entropy

SUN Shi-hai

（College of Science，National University of Defense Technology， Changsha，Hunan 410073，China）

Abstract：Entropy is a very important concept in the information theory， which could be used to describe the average information amount. However，different from the Shannon Entropy in classical information theory， von Neumann Entropy should be used in the quantum information theory. At the same time， von Neumann entropy could plays important role in the criterion of entanglement. Thus， in this paper， we want to help the student to understand the von Neumann entropy by introducing the basic concept.

Key words：Quantum information;von Neumann entropy