二次函數(shù)常見考點探究

張　玲

二次函數(shù)常見考點探究

張玲

二次函數(shù)是中考的重點考查內(nèi)容，題型主要有選擇題、填空題及解答題，而且常與方程、不等式、幾何知識等結合在一起綜合考查.下面就對2015年中考試卷選擇題和填空題中出現(xiàn)的有關二次函數(shù)的幾類考點加以說明.

考點一二次函數(shù)的概念

例1（2015·蘭州）下列函數(shù)解析式中，一定為二次函數(shù)的是（）.

A.y=3x+1B.y=ax2+bx+c

C.s=2t2-2t+1D.

【解析】二次函數(shù)，是指形如y=ax2+bx+c的函數(shù)，其中a，b，c都是常數(shù)，且a≠0.

A項是一次函數(shù)，B項必須要求a≠0，C項正確，D項錯誤，因為二次函數(shù)必須是整式函數(shù).

【點評】本題考查二次函數(shù)概念，要緊扣概念形式和牢記限定條件，同時注意二次函數(shù)解析式兩邊都是整式.

考點二二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)

例2（2015·泰安）某同學在用描點法畫二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖像時，列出了下面的表格：

x…-2-1012…y…-11-21-2-5…

由于粗心，他算錯了其中一個y值，則這個錯誤的數(shù)值是（）.

A.-11B.-2C.1D.-5

【解析】本題主要考查二次函數(shù)的圖像對稱性，根據(jù)關于對稱軸對稱的自變量所對應的函數(shù)值相等可以得到答案.

根據(jù)二次函數(shù)圖像的對稱性，初步判斷點（-1，-2），（0，1），（1，-2）在函數(shù)圖像上，把三個點坐標代入y=ax2+bx+c得到關于a，b，c的三元一次方程組，解得函數(shù)解析式為y=-3x2+1，當x=2時y=-11，所以選D項.

【點評】利用函數(shù)圖像關于對稱軸對稱是解題關鍵，同時也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式.

例3（2015·常州）已知二次函數(shù)y= x2+（m-1）x+1，當x＞1時，y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是（）.

A.m=-1B.m=3

C.m≤-1D.m≥-1

【解析】本題主要考查二次函數(shù)的增減性，根據(jù)圖像開口向上，可知在對稱軸右側，y隨x的增大而增大.

【點評】熟記函數(shù)圖像增減性，正確列出不等式是解題關鍵.

考點三二次函數(shù)的圖像和系數(shù)a，b，c的關系

例4（2015·遂寧）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像如圖1所示，下列結論：①2a+b＞0；②abc＜0；③b2-4ac＞0；④a+b+c＜0；⑤4a-2b+c＜0，其中正確的個數(shù)是（）.

圖1

A.2B.3C.4D.5

【解析】本題考查函數(shù)圖像和系數(shù)a，b，c的關系.

（1）由拋物線開口向下得到a＜0，由對稱軸在x=1的右側得到，利用不等式的性質(zhì)得到2a+b＞0，故①正確；

（2）由a＜0，對稱軸在y軸的右側，a與b異號，得到b＞0，拋物線與y軸的交點在x軸的下方得到c＜0，于是abc＞0，故②錯誤；

（3）拋物線與x軸有兩個交點，所以Δ= b2-4ac＞0，故③正確；

（4）由x=1時，y＞0，可得a+b+c＞0，故④錯誤；

（5）由x=-2時，y＜0，可得4a-2b+c＜0，故⑤正確.

綜上所述正確結論個數(shù)有3個，故選B項.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關系：對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像，a＞0，開口向上，a＜0，開口向下；對稱軸為直線，a與b同號，對稱軸在y軸的左側，a與b異號，對稱軸在y軸的右側；當c＞0時，拋物線與y軸的交點在x軸的上方；當c＜0時，拋物線與y軸的交點在x軸的下方；當Δ=b2-4ac＞0時，拋物線與x軸有兩個交點.

考點四二次函數(shù)圖像與幾何變換

例5（2015·龍巖）拋物線y=2x2-4x+3繞坐標原點旋轉180°所得的拋物線的解析式是________.

【解析】根據(jù)旋轉的性質(zhì)，可得a的絕對值不變，根據(jù)中心對稱，可得答案.

將y=2x2-4x+3化為頂點式，得y=2（x-1）2+ 1，可知頂點坐標是（1，1），求拋物線y=2x2-4x+3繞坐標原點旋轉180°所得的拋物線，關鍵要確定旋轉后所得拋物線的頂點和開口方向.旋轉后的拋物線開口方向與原來相反即開口向下，開口大小不變，故二次項系數(shù)為-2，而頂點變?yōu)椋?1，-1）.所得的拋物線的解析式是y=-2（x+1）2-1，化為一般式，得y=-2x2-4x-3，故答案為：y=-2x2-4x-3.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖像與幾何變換，利用了中心對稱的性質(zhì)，注意抓住關鍵點的變化.

考點五二次函數(shù)的應用

例6（2015·朝陽）一個足球被從地面向上踢出，它距地面的高度h（m）與足球被踢出后經(jīng)過的時間t（s）之間具有函數(shù)關系h=at2+19.6t，已知足球被踢出后經(jīng)過4 s落地，則足球距地面的最大高度是______m.

【解析】首先由題意得：t=4時，h=0，然后再代入函數(shù)關系h=at2+19.6t可得a的值，再利用函數(shù)解析式計算出h的最大值即可.

由題意得：t=4時，h=0，因此0=16a+19.6× 4，解得：a=-4.9，

∴函數(shù)關系為h=-4.9t2+19.6t，足球距離地面最大高度為

故答案為：19.6.

【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的應用，關鍵是正確確定函數(shù)解析式，把最大高度問題轉化為函數(shù)圖像的頂點縱坐標來求.

考點六二次函數(shù)與方程，不等式

例7（2015·蘇州）若二次函數(shù)y=x2+bx的圖像的對稱軸是經(jīng)過點（2，0）且平行于y軸的直線，則關于x的方程x2+bx=5的解為（）.

A.x1=0，x2=4B.x1=1，x2=5

C.x1=1，x2=-5D.x1=-1，x2=5

【解析】本題是二次函數(shù)和一元二次方程的綜合，考查二次函數(shù)的性質(zhì)和解一元二次方程.

根據(jù)題意得對稱軸是直線x=2，所以得b=-4，把b=-4代入到x2+bx=5，得方程為x2-4x=5，解得x1=-1，x2=5，故選D項.

例8（2015·柳州）如圖2，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸相交于（-2，0）和（4，0）兩點，當ax2+bx+ c＞0時，x的取值范圍是（）.

A.x＜-2B.-2＜x＜4

C.x＞0D.x＞4

圖2

【解析】本題考查二次函數(shù)與不等式，根據(jù)函數(shù)圖像確定使y＞0成立的自變量x的取值范圍.

根據(jù)函數(shù)圖像，二次函數(shù)值大于0部分的圖像位于x軸上方，所對應的自變量x的取值范圍是-2＜x＜4，故選B項.

【點評】能正確把不等式問題轉化為函數(shù)問題，利用函數(shù)圖像解決問題是關鍵.

（作者單位：江蘇省宿遷市鐘吾國際學校）