二次函數的極值問題

董曉磊

二次函數的極值問題

董曉磊

二次函數極值問題是中考數學中的熱點問題，而利用二次函數求極值又是初中數學中常見的一種手段，本文將結合2015年中考原題具體闡述這類問題.

例1（2015·南京）某企業生產并銷售某種產品，假設銷售量與產量相等.如圖1中的折線ABD、線段CD分別表示該產品每千克生產成本y1（單位：元）、銷售價y2（單位：元）與產量x（單位：kg）之間的函數關系.

圖1

（1）請解釋圖中點D的橫坐標、縱坐標的實際意義；

（2）求線段AB所表示的y1與x之間的函數表達式；

（3）當該產品產量為多少時，獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

【分析】（1）點D的橫坐標、縱坐標的實際意義：當產量為130 kg時，該產品每千克生產成本與銷售價相等，都為42元；

（2）根據線段AB經過的兩點的坐標利用待定系數法確定一次函數的表達式即可；

（3）利用總利潤=單位利潤×產量列出有關x的二次函數，求得最值即可.

解：（1）點D的橫坐標、縱坐標的實際意義：當產量為130 kg時，該產品每千克生產成本與銷售價相等，都為42元.

（2）設線段AB所表示的y1與x之間的函數關系式為y=k1x+b1，

∵y=k1x+b1的圖像過點（0，60）與（90，42），

∴這個一次函數的表達式為：y=-0.2x+ 60（0≤x≤90）.

（3）設y2與x之間的函數關系式為y= k2x+b2，

∵y=k2x+b2的圖像經過點（0，120）與（130，42），

∴這個一次函數的表達式為y2=-0.6x+ 120（0≤x≤130）.

設產量為x kg時，獲得的利潤為W元，

當0≤x≤90時，W=x［（-0.6x+120）-（-0.2x+60）］=-0.4（x-75）2+2 250，∴當x=75時，W的值最大，最大值為2250；當90≤x≤130時，W=x［（-0.6x+120）-42］=-0.6（x-65）2+2 535，

∴當x=90時，W=-0.6（90-65）2+2 535= 2 160，

由-0.6＜0知，當x＞65時，W隨x的增大而減小，∴當90≤x≤130時，W≤2 160.

因此當該產品產量為75 kg時，獲得的利潤最大，最大值為2 250.

【點評】此題考查了二次函數的應用，解題的關鍵是從實際問題中抽象出二次函數模型，在自變量不同取值范圍內，求出每段的最大值，最后進行比較，得出結論.

例2（2015·濟寧）如圖2，⊙E的圓心E（3，0），半徑為5，⊙E與y軸相交于A、B兩點（點A在點B的上方），與x軸的正半軸交于點C，直線l的解析式為y=，與x軸相交于點D，以點C為頂點的拋物線過點B.

圖2

（1）求拋物線的解析式；

（2）判斷直線l與⊙E的位置關系，并說明理由；

（3）動點P在拋物線上，當點P到直線l的距離最小時，求出點P的坐標及最小距離.

【分析】（1）連接AE，由已知得：AE=CE= 5，OE=3，利用勾股定理求出OA的長，結合垂徑定理求出OC的長，從而得到C點坐標，進而得到拋物線的解析式；

（3）過點P作直線l的垂線段PQ，垂足為Q，過點P作直線PM垂直于x軸，交直線l于點M.

解：（1）如圖3，連接AE，由已知得：

AE=CE=5，OE=3，

在Rt△AOE中，由勾股定理得，

圖3

∵OC⊥AB，∴由垂徑定理得，OB=OA=4，

OC=OE+CE=3+5=8，

∴A（0，4），B（0，-4），C（8，0），

∵拋物線的頂點為C，

∴設拋物線的解析式為y=a（x-8）2，

當x=0時，y=4，

∴點A在直線l上，

在Rt△AOE和Rt△DOA中，

∵∠AOE=∠DOA=90°，

∴△AOE∽△DOA，

∴∠AEO=∠DAO，

∵∠AEO+∠EAO=90°，

∴∠DAO+∠EAO=90°，即∠DAE=90°，因此，直線l與⊙E相切于A.

（3）如圖4，過點P作直線l的垂線段PQ，垂足為Q，過點P作直線PM垂直于x軸，交直線l于點M.

圖4

∵PM⊥x軸，

∴∠QMP=∠DAO=∠AEO，

又∠PQM=90°，

∴△PQM的三個內角固定不變，

∴在動點P運動的過程中，△PQM的三邊的比例關系不變，

∴當PM取得最小值時，PQ也取得最小值，PQ最小=PM最小·sin∠QMP =PM最小·sin∠AEO=

【點評】此題是二次函數綜合題，涉及勾股定理、待定系數法求二次函數解析式、切線的判定和性質、二次函數的最值等知識，在解答（3）時要注意點P、點M坐標的設法，以便利用二次函數的最值求解.

例3（2015·東莞）如圖5，在同一平面上，兩塊斜邊相等的直角三角板Rt△ABC和Rt△ADC拼在一起，使斜邊AC完全重合，且頂點B，D分別在AC的兩旁，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=30°，AB=BC=4 cm.

圖5

（1）填空：AD=_______（cm），DC= _______（cm）；

（2）點M，N分別從A點，C點同時以每秒1 cm的速度等速出發，且分別在AD，CB上沿A→D，C→B方向運動，求當M，N點運動了x秒時，點N到AD的距離（用含x的式子表示）；

（3）在（2）的條件下，取DC中點P，連接MP，NP，設△PMN的面積為y（cm2），在整個運動過程中，△PMN的面積y存在最大值，請求出y的最大值.

【分析】（1）由勾股定理求出AC，由∠CAD=30°，得出DC=，由三角函數求出AD即可；

（2）過N作NE⊥AD于E，作NF⊥DC，交DC的延長線于F，則NE=DF，求出∠NCF= 75°，∠FNC=15°，由三角函數求出FC，得NE= DF=，即可得出結果；

（3）由三角函數求出FN，得出PF，由△PMN的面積=梯形MDFN的面積-△PMD的面積-△PNF的面積，得出y關于x的二次函數，即可得出y的最大值.

解：（1）∵∠ABC=90°，AB=BC=4 cm，

（2）過點N作NE⊥AD于E，作NF⊥DC，交DC的延長線于F，如圖6所示：

圖6

則NE=DF，

∵∠ABC=∠ADC= 90°，AB=BC，∠CAD= 30°，∴∠ACB=45°，∠ACD=60°，

∴∠NCF=180°-45°-60°=75°，∠FNC=15°，

∴FN=

∵△PMN的面積=梯形MDFN的面積-△PMD的面積-△PNF的面積，

由此可知y是x的二次函數，

【點評】此題是在幾何動點問題中利用二次函數求最大值，解題的關鍵是利用補形的方法表示出三角形的面積.本題難度較大，綜合性也很強.

（作者單位：江蘇省宿遷市鐘吾國際學校）