二次函數與幾何圖形存在性問題

吳良聰

二次函數與幾何圖形存在性問題

吳良聰

二次函數中幾何圖形的存在問題是近年來?？嫉念}型，實際上，只要我們能充分運用條件，根據圖形的特點，綜合運用所學知識，如勾股定理、全等三角形、相似三角形、解直角三角形、圖形的面積公式等來尋求等量關系，從而構造出二次函數，再利用二次函數的性質即可求解.現舉例說明.

例1（2011·淮安）如圖1，已知二次函數y=-x2+bx+3的圖像與x軸的一個交點為A（4，0），與y軸交于點B.

圖1

（1）求此二次函數關系式和點B的坐標；

（2）在x軸的正半軸上是否存在點P，使得△PAB是以AB為底邊的等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

【分析】由于在x軸正半軸上且以AB為底邊，所以這樣的點P只有一個，易得AP=BP，又OP=OA-AP，所以可以借助勾股定理求出OP的長，從而得出P點坐標為特別要注意如果沒有條件限制，我們就要分類討論.

圖2

（1）若A（-4，0），求二次函數的關系式；

（2）在（1）的條件下，求四邊形AMBM′的面積；

【分析】本題可以證明出四邊形AMBM′為菱形，再添加一個條件使它成為正方形，從而確定是否存在，這個條件可以是一個角是直角，也可以是對角線相等.利用這些可求出M點坐標，于是可求出函數關系式為

例3（2010·遵義）如圖3，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標為Q（2，-1），且與y軸交于點C（0，3），與x軸交于A，B兩點（點A在點B的右側），點P是該拋物線上的一動點，從點C沿拋物線向點A運動（點P與A不重合），過點P作PD∥y軸，交AC于點D.

（1）求該拋物線的函數關系式；

（2）是否存在點P使△ADP是直角三角形，若存在，求出點P的坐標；

（3）在題（2）的結論下，若點E在x軸上，點F在拋物線上，問是否存在以A、P、E、F為頂點的平行四邊形？若存在，求點F的坐標；若不存在，請說明理由.

圖3

【分析】第（2）小問要對直角進行分類，由于PD∥y軸，所以∠ADP不可能為直角，那么只還有∠APD和∠DAP分別為直角兩種情況.當∠APD為直角時，可以確定點P所在位置即點B位置，所以很容易求出點P第一種坐標，即點P（1，0）.當以∠DAP為直角時，易知OA=OC，因此∠OAC=45°，所以只需∠OAP=45°即可，再通過作垂線，可求出點P的第二個坐標為（2，-1）.

第（3）小問，當P在點B處時不存在這樣的平行四邊形；只有（2）中第2種情況存在，并且有兩種情況，可根據點P的縱坐標來確定點F的縱坐標，從而求出點F的坐標為

例4（2012·昌平期末）如圖4，在平面直角坐標系xOy中，二次函數圖像的頂點坐標為，且在x軸上截得的線段AB的長為6.

（1）求二次函數的解析式；

（2）在y軸上確定一點M，使MA+MC的值最小，求出點M的坐標；

（3）在x軸下方的拋物線上，是否存在點N，使得以N、A、B三點為頂點的三角形與△ABC相似？如果存在，求出點N的坐標；如果不存在，請說明理由.

圖4

【分析】此題第（3）小問，如果假設存在，設出點P的坐標，再利用相似來解計算量大而且含有字母，不容易算到底.我們可以換個思路，作出這樣的相似三角形，求出點N的坐標，然后再來判斷點N是否在拋物線上，就容易了.由相似可得點N坐標為（-10，，經檢驗在拋物線上.

例5（2015·德州）已知拋物線y=-mx2+ 4x+2m與x軸交于點A（a，0），B（b，0），且

（1）求拋物線的解析式.

（2）拋物線的對稱軸為l，與y軸的交點為C，頂點為D，點C關于l的對稱點為E，是否存在x軸上的點M，y軸上的點N，使四邊形DNME的周長最??？若存在，請畫出圖形（保留作圖痕跡），并求出周長的最小值；若不存在，請說明理由.

（3）若點P在拋物線上，點Q在x軸上，當以點D、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點P的坐標.

圖5

【分析】第（2）問可用幾何作圖確定存在，分別作D、E關于y軸、x軸的對稱點，兩對稱點連線與坐標軸的交點就是點M、N，再運用勾股定理可求出線段DE與D′E′的長，就可求出四邊形的最小周長，最小周長為

第（3）問有四種情況，根據點D、E坐標可確定點P的縱坐標，再運用解析式求出橫坐標.點P坐標為

例6（2013·江寧一模）如圖6，在平面直角坐標系中，二次函數的圖像與x軸交于點A、B，它的對稱軸是過點（1，0）且與y軸平行的直線，點A的橫坐標是-2.

圖6

（2）如圖7，直線l過點C（2，0）且與y軸平行，現有點P由點A出發沿射線AO以每秒2個單位長度的速度運動，同時點Q從點C出發，沿直線l向上以每秒1個單位長度的速度運動，設運動的時間為t秒.

圖7

①當PQ⊥AQ時，求t的值；

②在二次函數的圖像上是否存在點D，使得點P、D、C、Q圍成的四邊形是平行四邊形？若存在求出點D的坐標.

【分析】本題的第（2）問的第②小問考的是平行四邊形存在問題.因為點P、Q變化，點D也隨著變化，所以可以選擇將線段CQ分類.把線段CQ作為平行四邊形的邊，這是一種情況，可求出兩個解；另一種情況是把線段CQ作為平行四邊形的對角線，又可求出兩個解，共計四個解.平行四邊形存在性問題比較常見，首先要會分類，再抓住對邊相等，或者根據四邊形的對稱性求出點的坐標.所以點D坐標分別為（0，-1）、（8，5）、

（作者單位：江蘇省宿遷市鐘吾國際學校）