二次函數(shù)與幾何圖形存在性問題

吳良聰

二次函數(shù)與幾何圖形存在性問題

吳良聰

二次函數(shù)中幾何圖形的存在問題是近年來常考的題型，實(shí)際上，只要我們能充分運(yùn)用條件，根據(jù)圖形的特點(diǎn)，綜合運(yùn)用所學(xué)知識，如勾股定理、全等三角形、相似三角形、解直角三角形、圖形的面積公式等來尋求等量關(guān)系，從而構(gòu)造出二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.現(xiàn)舉例說明.

例1（2011·淮安）如圖1，已知二次函數(shù)y=-x2+bx+3的圖像與x軸的一個交點(diǎn)為A（4，0），與y軸交于點(diǎn)B.

圖1

（1）求此二次函數(shù)關(guān)系式和點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）在x軸的正半軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PAB是以AB為底邊的等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【分析】由于在x軸正半軸上且以AB為底邊，所以這樣的點(diǎn)P只有一個，易得AP=BP，又OP=OA-AP，所以可以借助勾股定理求出OP的長，從而得出P點(diǎn)坐標(biāo)為特別要注意如果沒有條件限制，我們就要分類討論.

圖2

（1）若A（-4，0），求二次函數(shù)的關(guān)系式；

（2）在（1）的條件下，求四邊形AMBM′的面積；

【分析】本題可以證明出四邊形AMBM′為菱形，再添加一個條件使它成為正方形，從而確定是否存在，這個條件可以是一個角是直角，也可以是對角線相等.利用這些可求出M點(diǎn)坐標(biāo)，于是可求出函數(shù)關(guān)系式為

例3（2010·遵義）如圖3，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為Q（2，-1），且與y軸交于點(diǎn)C（0，3），與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），點(diǎn)P是該拋物線上的一動點(diǎn)，從點(diǎn)C沿拋物線向點(diǎn)A運(yùn)動（點(diǎn)P與A不重合），過點(diǎn)P作PD∥y軸，交AC于點(diǎn)D.

（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

（2）是否存在點(diǎn)P使△ADP是直角三角形，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在題（2）的結(jié)論下，若點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)F在拋物線上，問是否存在以A、P、E、F為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

圖3

【分析】第（2）小問要對直角進(jìn)行分類，由于PD∥y軸，所以∠ADP不可能為直角，那么只還有∠APD和∠DAP分別為直角兩種情況.當(dāng)∠APD為直角時，可以確定點(diǎn)P所在位置即點(diǎn)B位置，所以很容易求出點(diǎn)P第一種坐標(biāo)，即點(diǎn)P（1，0）.當(dāng)以∠DAP為直角時，易知OA=OC，因此∠OAC=45°，所以只需∠OAP=45°即可，再通過作垂線，可求出點(diǎn)P的第二個坐標(biāo)為（2，-1）.

第（3）小問，當(dāng)P在點(diǎn)B處時不存在這樣的平行四邊形；只有（2）中第2種情況存在，并且有兩種情況，可根據(jù)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)來確定點(diǎn)F的縱坐標(biāo)，從而求出點(diǎn)F的坐標(biāo)為

例4（2012·昌平期末）如圖4，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且在x軸上截得的線段AB的長為6.

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）在y軸上確定一點(diǎn)M，使MA+MC的值最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）在x軸下方的拋物線上，是否存在點(diǎn)N，使得以N、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？如果存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

圖4

【分析】此題第（3）小問，如果假設(shè)存在，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用相似來解計(jì)算量大而且含有字母，不容易算到底.我們可以換個思路，作出這樣的相似三角形，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，然后再來判斷點(diǎn)N是否在拋物線上，就容易了.由相似可得點(diǎn)N坐標(biāo)為（-10，，經(jīng)檢驗(yàn)在拋物線上.

例5（2015·德州）已知拋物線y=-mx2+ 4x+2m與x軸交于點(diǎn)A（a，0），B（b，0），且

（1）求拋物線的解析式.

（2）拋物線的對稱軸為l，與y軸的交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為D，點(diǎn)C關(guān)于l的對稱點(diǎn)為E，是否存在x軸上的點(diǎn)M，y軸上的點(diǎn)N，使四邊形DNME的周長最小？若存在，請畫出圖形（保留作圖痕跡），并求出周長的最小值；若不存在，請說明理由.

（3）若點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在x軸上，當(dāng)以點(diǎn)D、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

圖5

【分析】第（2）問可用幾何作圖確定存在，分別作D、E關(guān)于y軸、x軸的對稱點(diǎn)，兩對稱點(diǎn)連線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)就是點(diǎn)M、N，再運(yùn)用勾股定理可求出線段DE與D′E′的長，就可求出四邊形的最小周長，最小周長為

第（3）問有四種情況，根據(jù)點(diǎn)D、E坐標(biāo)可確定點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，再運(yùn)用解析式求出橫坐標(biāo).點(diǎn)P坐標(biāo)為

例6（2013·江寧一模）如圖6，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與x軸交于點(diǎn)A、B，它的對稱軸是過點(diǎn)（1，0）且與y軸平行的直線，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是-2.

圖6

（2）如圖7，直線l過點(diǎn)C（2，0）且與y軸平行，現(xiàn)有點(diǎn)P由點(diǎn)A出發(fā)沿射線AO以每秒2個單位長度的速度運(yùn)動，同時點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿直線l向上以每秒1個單位長度的速度運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為t秒.

圖7

①當(dāng)PQ⊥AQ時，求t的值；

②在二次函數(shù)的圖像上是否存在點(diǎn)D，使得點(diǎn)P、D、C、Q圍成的四邊形是平行四邊形？若存在求出點(diǎn)D的坐標(biāo).

【分析】本題的第（2）問的第②小問考的是平行四邊形存在問題.因?yàn)辄c(diǎn)P、Q變化，點(diǎn)D也隨著變化，所以可以選擇將線段CQ分類.把線段CQ作為平行四邊形的邊，這是一種情況，可求出兩個解；另一種情況是把線段CQ作為平行四邊形的對角線，又可求出兩個解，共計(jì)四個解.平行四邊形存在性問題比較常見，首先要會分類，再抓住對邊相等，或者根據(jù)四邊形的對稱性求出點(diǎn)的坐標(biāo).所以點(diǎn)D坐標(biāo)分別為（0，-1）、（8，5）、

（作者單位：江蘇省宿遷市鐘吾國際學(xué)校）