傾聽學(xué)生反思教學(xué)方能提高——由一道無法分離參變量的題引發(fā)的教學(xué)思考

筅江蘇省高郵中學(xué)　季長征

傾聽學(xué)生反思教學(xué)方能提高——由一道無法分離參變量的題引發(fā)的教學(xué)思考

筅江蘇省高郵中學(xué)季長征

教師作為人生成長中重要階段的引路人之一，有責(zé)任去傾聽學(xué)生，傾聽學(xué)生的需求，反思并改進(jìn)自己的行為，成為他們?nèi)松砷L的領(lǐng)路人，正如李政濤先生所言：“教育的過程是教育者與受教育者互相傾聽與應(yīng)答的過程.”有時(shí)傾聽學(xué)生的一些做法，反思自己的教學(xué)會有不一樣的收獲.

一、傾聽學(xué)生，問題產(chǎn)生

分離參變量是解決恒成立問題的一個(gè)重要方法，而不是唯一的方法.一天甲學(xué)生拿了下面的題目來問筆者，“已知函數(shù)（fx）=m（x-1）2-2x+3+lnx，m∈R，當(dāng)m>0時(shí)，若曲線y=（fx）在點(diǎn)P（1，1）處的切線l與曲線y=（fx）有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的值.”

老師：你怎么考慮的？

老師：你怎么想到分離參變量的？

甲學(xué)生：我想到當(dāng)函數(shù)圖像有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)可以用圖像法，于是轉(zhuǎn)化為直線與曲線的交點(diǎn)問題.

對啊，學(xué)生思路沒有錯(cuò)啊，這可是自己平時(shí)教學(xué)中總結(jié)的啊.

老師：你把（x-1）2除過來有沒有討論x=1的情況？

反思：將陌生問題熟悉化，很棒！那么為什么甲學(xué)生會這樣想，甲學(xué)生還說班上很多學(xué)生都是這么做的，都解到這解不下去了.他們也找到解答了，解答用的是分類討論，這些話讓筆者思考頗多，大部分學(xué)生酷愛分離參變量法，因?yàn)橛梅蛛x參變量法，通常得到的是一個(gè)確定函數(shù)的不等關(guān)系，再用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，往往是確定的，不需要討論，筆者也這么認(rèn)為，因?yàn)槠綍r(shí)教學(xué)中筆者將這類題目的解法單一化，替學(xué)生總結(jié)這類題型的方法時(shí)過于武斷，沒有考慮其他方法.

二、反思教學(xué)，尋找原因

前段時(shí)間筆者在班上講了這么一道題“已知函數(shù)f（x）=ax2-lnx（a為常數(shù)），若a<0，且對任意的x∈［1，e］，f（x）≥（a-2）x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.”

學(xué)生一般的思路如下：因?yàn)閒（x）≥（a-2）x在x∈［1，e］時(shí)恒成立，即a（x2-x）≥lnx-2x在x∈［1，e］時(shí)恒成立.

①當(dāng)x=1時(shí)，此不等式恒成立，故此時(shí)a∈R.

令h（x）=x+1-lnx，x∈（1，e］，則h′（x）=1-在x∈（1，e］時(shí)恒成立.

故h（x）在x∈（1，e］時(shí)單調(diào)遞增，從而h（x）>h（1）=2> 0，從而當(dāng)x∈（1，e］時(shí)，g′（x）>0恒成立，故g（x）在x∈（1， e］時(shí)單調(diào)遞增.所以g（x）max=g（e）

因?yàn)榉诸愑懻摰姆椒ㄝ^為復(fù)雜，筆者也就一帶而過，沒有對分類討論的方法作詳細(xì)介紹.

反思：其實(shí)在很多試卷評講課時(shí)，我們往往沒有抓住第一時(shí)間去處理好這類問題的方法，機(jī)遇就這樣稍縱即逝，殊不知，只講分離參變量法會把學(xué)生的思路變得單一，一般題型還好，一旦遇到上面所謂分不了參的，學(xué)生就無從下手.若老師在評講試卷時(shí)能認(rèn)真講一下分類討論，學(xué)生也不會對一開始提出的問題無所適從.

改進(jìn)講法：除了分離參變量，有沒有其他的解法呢？其實(shí)有的題目分離參變量的方法也是很好的.

設(shè)F（x）=f（x）-（a-2）x=ax2-lnx-（a-2）x.因?yàn)閷θ我獾膞∈（1，e］，f（x）≥（a-2）x恒成立，即F（x）≥0恒成立.

三、引入法則，解決問題

我們回到原題①，那常規(guī)思路應(yīng)該怎么做呢？你們聽完上面這道題能不能用分類討論的方法呢？

在此可做總結(jié)，恒成立問題不一定是用分離參變量好，有時(shí)構(gòu)造新函數(shù)，分類討論也是很好的，要具體問題具體分析.既然筆者忽視對分類討論解法的講解，學(xué)生沒想到.那上面這道題分離參變量真的就走不下去了嗎？

老師：你分離參變量后，接著怎么做？

反思：這就是分參分不下去的根源.是不是就不能講呢？競賽課能講，那平時(shí)的教學(xué)不能講嗎？如果學(xué)生平時(shí)習(xí)慣了分離參變量就走不下去了嗎？

其實(shí)不然，我們今天引入一個(gè)新內(nèi)容——洛必達(dá)法則，洛必達(dá)法則是在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法.法國數(shù)學(xué)家洛必達(dá)在1696年的著作《闡明曲線的無窮小分析》中發(fā)表了這個(gè)法則，因此以他為命名.但一般認(rèn)為這個(gè)法則是由瑞士數(shù)學(xué)家約翰·伯努利首先發(fā)現(xiàn)，因此也被叫作伯努利法則.

（2）在點(diǎn)a的某個(gè)去心鄰域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且g（′x）≠0；

綜上所述m=1.

這就帶來個(gè)問題，洛必達(dá)法則有講的必要嗎？若講的話，怎么講呢？平時(shí)又不怎么用，講了會不會違背高考考綱呢？筆者認(rèn)為有講的必要，數(shù)學(xué)的發(fā)展就是在遇到新問題后，解決新問題而產(chǎn)生新知識，應(yīng)該說我們高中教學(xué)中不止一次出現(xiàn)可以用洛必達(dá)法則的，既然學(xué)生好理解，我們?yōu)槭裁床恢v呢.怎么講呢？不能突然說要講洛必達(dá)法則，而是要抓住時(shí)機(jī)來講.例如：在講到類似f（x）=，當(dāng)x→+∞，f（x）→0時(shí)，有的教師可能是用增長速度講的，x+1的增長速度在x很大時(shí)比x2的增長速度慢.這樣講學(xué)生是好理解，但若能在這說出問題的本質(zhì)豈不更好，其實(shí)我們可以用洛必達(dá)法則加以解釋，它屬于型不定式極限，這樣既沒有刻意去講洛必達(dá)法則，也能讓學(xué)生在正常學(xué)習(xí)中多學(xué)了一個(gè)知識，何樂而不為呢.其實(shí)學(xué)生在學(xué)物理時(shí)就已經(jīng)接觸到類似的問題，物理上說當(dāng)正數(shù)x很小時(shí)，sinx近似等于x.用數(shù)學(xué)知識好理解所以正數(shù)x很小時(shí)，sinx近似等于x.

四、考試涉及，問題普遍

平時(shí)練習(xí)遇到這樣的怪題，那高三模擬考試中有嗎？有，而且不止一題.筆者就拿高三蘇中三市調(diào)研考試中出現(xiàn)的一道題來說，巧的是筆者是網(wǎng)上閱這道題.此題為第19題共2問16分，第二問均分只有2.3分，為什么這么低，我們閱卷中發(fā)現(xiàn)第二問用分離參變量做的占到95%.為什么會這樣呢？分參中絕大多數(shù)學(xué)生拿不到分?jǐn)?shù)，為什么呢？我們先來看看題目：

已知函數(shù)f（x）=x+sinx.

（2）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使不等式f（x）≥axcosx在上恒成立.

我們先來看看構(gòu)造新函數(shù)分類討論的方法，學(xué)生會不會很容易想到.

當(dāng)a>0時(shí)，令g（x）=f（x）-axcosx=x+sinx-axcosx，則g′（x）=1+cosx-a（cosx-xsinx）=1+（1-a）cosx+axsinx.

①當(dāng)1-a≥0，即00，所以g（x）在上為單調(diào)增函數(shù).所以g（x）≥g（0）=0+sin0-a·0·cos0=0，符合題意.所以0

②當(dāng)1-a<0，即a>1時(shí)，令h（x）=g′（x）=1+（1-a）cosx+ axsinx，于是h′（x）=（2a-1）sinx+axcosx.

因?yàn)閍>1，所以2a-1>0，從而h′（x）≥0.所以h（x）在上為單調(diào)增函數(shù).所以h（0）≤h（x）≤h即 2-a≤h（x）≤a+1，所以2-a≤g（′x）≤a+1.

當(dāng)2-a≥0，即1

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，2］.

相信讀者看完也會覺得這道題用分類討論的方法確實(shí)太難想，可能學(xué)生還是比較容易想到分離參變量的方法，從閱卷情況看也是這樣.接下來我們一起來瞧瞧為什么很多學(xué)生分參做不下去？

五、反思教學(xué)，方能提高

通過對上面幾道所謂無法分離參變量的題目的分析后，筆者對教學(xué)有幾點(diǎn)反思：

（1）解題教學(xué)時(shí)要學(xué)會傾聽學(xué)聲，了解學(xué)情，把握好學(xué)生的思維起點(diǎn).課堂教學(xué)中教師要立足于講清解題思路，要將解題的思維過程暴露給學(xué)生.不要就題論題，要多講些如何想的，少講些如何算的，要教會學(xué)生為什么這樣解？解此類題的思路是什么？學(xué)生最關(guān)心的問題是什么？當(dāng)初你是如何想到這樣解的？今后再遇到類似的問題如何下手？要注意講清思路受阻的原因，以及打開解題思路的步驟、方法.哪怕受阻是暫時(shí)的知識，內(nèi)容不夠，也要視情況補(bǔ)充.

（2）教師要認(rèn)識到對于很多數(shù)學(xué)問題，教師與學(xué)生的認(rèn)知往往不一樣，不能把你認(rèn)為的好方法直接灌輸給學(xué)生，形成學(xué)生思路單一化，要遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，強(qiáng)化學(xué)生的“最愛”解法時(shí)，還要不失時(shí)機(jī)地引導(dǎo)學(xué)生從變化的角度看問題，帶他們進(jìn)入一個(gè)新境界，拓展學(xué)生思維，提升學(xué)生能力，升華學(xué)生本領(lǐng).

（3）解題時(shí)要注意通性通法的講解，也要注意一題多解，多個(gè)方法之間注意比較.就如本文提及的恒成立問題，分離參變量是好方法，但不是唯一的方法，還可以構(gòu)造新函數(shù)，分類討論.到底哪個(gè)方法好，不能一概而論.這就提醒我們平時(shí)教學(xué)中要具體問題具體分析.

（4）利用好網(wǎng)批試卷后的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，可以促進(jìn)教學(xué)有效性的提升，使教師的“教”、學(xué)生的“學(xué)”在數(shù)據(jù)的引領(lǐng)下提高效率，學(xué)生的解答就是學(xué)生的“聲音”，傾聽他們的“聲音”，從而了解學(xué)生的學(xué)情，優(yōu)化我們的教學(xué)效果.

六、結(jié)束語

“課堂是一門有遺憾的藝術(shù)”，但關(guān)鍵部分處理不好而出現(xiàn)的種種遺憾，有時(shí)恰恰是數(shù)學(xué)問題的核心、知識的重點(diǎn)、學(xué)生的盲點(diǎn)，因此我們要以學(xué)生為本，以學(xué)生的發(fā)展作為教學(xué)根本目的，能傾聽學(xué)生的心聲，及時(shí)反思，冷靜分析，找出問題，并制定相應(yīng)的對策；要有勇氣，能夠自我否定，及時(shí)彌補(bǔ)，這樣方能取得成功！

1.楊曉翔.細(xì)節(jié)決定成敗［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2015（10）.

2.展國培.增強(qiáng)思辨意識發(fā)展思維能力［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2015（9）.F