以圖導(dǎo)思方向明，完美解答自然生——武漢市2016屆高三四月調(diào)考理科壓軸試題的解法探討

筅湖北省武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué)盤龍校區(qū)　李紅春

筅湖北省武漢市教育科學(xué)研究院　孔峰

以圖導(dǎo)思方向明，完美解答自然生——武漢市2016屆高三四月調(diào)考理科壓軸試題的解法探討

筅湖北省武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué)盤龍校區(qū)李紅春

筅湖北省武漢市教育科學(xué)研究院孔峰

每年的高三調(diào)考試題是命題專家匠心獨(dú)運(yùn)之作，尤其是壓軸題中的函數(shù)導(dǎo)數(shù)題，其方法多樣、思想靈活，具有鮮明的導(dǎo)向性，備受一線教師的青睞.由于壓軸試題難度大，不少教師只能依賴參考答案為學(xué)生解惑，照本宣科的講解，讓很多學(xué)生知其然，卻不知其所以然.其實(shí)很多冰冷的標(biāo)準(zhǔn)答案背后都有著鮮活的思考.筆者有幸參與武漢市高三調(diào)考試題的命制，和多位專家親切交流，感受頗深.現(xiàn)以武漢市2016屆高三四月調(diào)考理科函數(shù)導(dǎo)數(shù)試題為例，將求解過(guò)程中的心路歷程真實(shí)呈現(xiàn)出來(lái)，希望能對(duì)一線教師的教學(xué)和命題有所借鑒.

題目：H（x）=x2ex-lnx（.ln2≈0.693，≈1.649）

（Ⅰ）當(dāng)x≥1時(shí)，判斷H（x）單調(diào)性；

（Ⅱ）證明：當(dāng)x>0時(shí)，不等式H（x）>1恒成立.

本題以函數(shù)導(dǎo)數(shù)知識(shí)為載體，以不等式的證明為依托，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等基本方法，以及分類討論、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.

本題難在第（Ⅱ）問(wèn)，對(duì)于函數(shù)不等式的證明，一般有兩個(gè)思路：①將問(wèn)題歸結(jié)為求一個(gè)函數(shù)的最值解決；②將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)來(lái)解決，用充分性證明.

依據(jù)思路1，我們可以得到如下解法1：

證法1：直接求函數(shù)f（x）的最值.

以上解答關(guān)鍵是先借助零點(diǎn)存在定理判斷出導(dǎo)函數(shù)有零點(diǎn)，然后用“虛設(shè)零點(diǎn)”的方法設(shè)出其零點(diǎn)，最后借助零點(diǎn)表示出原函數(shù)的最小值，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的策略.

依據(jù)思路2，先將函數(shù)分離，從待證不等式x2ex-lnx>1出發(fā)，可得如下變形：

將以上不等式兩邊分別看作兩個(gè)不同的函數(shù)，先借助幾何畫板，在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作出其圖像，從圖形上獲取有效信息，再探尋解題方法.

圖1　

即f（x）min>g（x）max，故，即原不等式成立.

圖2　

②由23>e2即ln2>，所以+ln2>1，即則當(dāng)則g′（x）=，故當(dāng)時(shí)，g′（x）>0，g（x）單調(diào)遞增；當(dāng)+∞）時(shí)，g′（x）<0，g（x）單調(diào)遞減.所以g（x）max=g（=則ex>g（x）成立，故原不等式成立.

圖3　

證法4：?jiǎn)栴}等價(jià)于證明：x2ex>lnx+1

思路探尋：如圖3，g（x）= x2ex的圖像在f（x）=lnx+1的上方，f（x）無(wú)上界，無(wú)法通過(guò)最值解決，這時(shí)可尋找直線作為中間不等關(guān)系轉(zhuǎn)化的橋梁.

不妨令g（x）=x2ex，f（x）= lnx+1.一方面g′（x）=ex（x2+2x），，所以g（x）在處的切線方程為y-，即y=，易證：；另一方面：f（x）=lnx+1在

即問(wèn)題得證.

圖4　

1.649-4×0.693=2.4735-2.772<0，所以H（x）在≈單調(diào)遞減，所以H（x）>H（1）=

③當(dāng)x∈［1，+∞）時(shí)，f′（x）=（x+1）ex>0，f（x）單調(diào)遞增，f（x）≥f（1）=e；g′（x）=≤0，g（x）單調(diào)遞減，g（x）≤g（1）=1.故當(dāng)x∈［1，+∞）時(shí)，（fx）>g（x）.

綜上，不等式式成立.

數(shù)學(xué)離不開(kāi)圖，圖是無(wú)聲的語(yǔ)言，圖是思維的起點(diǎn)，圖是探究的源泉.從圖形中獲取有效信息，再回到數(shù)學(xué)嚴(yán)密的邏輯上去推理論證，是“以形助數(shù)”的具體現(xiàn)，值得我們細(xì)心體會(huì).Z