一組怪異不等式的統(tǒng)一推廣

筅浙江省元濟高級中學(xué)　張艷宗

筅浙江省海寧市上海外國語大學(xué)附屬宏達高級中學(xué)　趙燕明

一組怪異不等式的統(tǒng)一推廣

筅浙江省元濟高級中學(xué)張艷宗

筅浙江省海寧市上海外國語大學(xué)附屬宏達高級中學(xué)趙燕明

文［1］用待定系數(shù)法分別證明了一類“怪異”不等式：

題2（2011年第二屆陳省身杯數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競賽）對任意x，y，z∈R，求證：-（x2+y2+2z）2≤3xy+yz+

文［2］對題1、題3以及題2右半部分加以推廣，得到以下結(jié)論：設(shè)λ>0，μ>0，x，y，z∈R，則λxy+yz+zx≤

筆者反復(fù)研磨以上三個問題，受題2及文［3］啟發(fā)，思考兩個問題：（1）此不等式能否推廣到更一般的情形？（2）此不等式是否存在下界？

以上三個問題都可轉(zhuǎn)化為如下問題：若實數(shù)x，y，z不全為零，a，b，c，m，n，p為正實常數(shù)，求f（x，y，z）=的范圍.①

經(jīng)過探究，筆者得到以下結(jié)論：

結(jié)論若a，b，c為正常數(shù)，實數(shù)x，y，z不全為零，λ，μ分別是關(guān)于k的方程k3-（a2+b2+c2）k-2abc=0的最小實根和最大實根，則

證明：令h（k）=k3-（a2+b2+c2）k-2abc，則h′（k）=3k2-（a2+b2+c2）.

令h′（k）=0，解得k1=-

又h（a）=-a（b+c）2<0，h（b）=-b（c+a）2<0，h（c）=-c（a+ b）2<0，從而μ>a，μ>b，μ>c.

h（-a）=a（b+c）2>0，h（-b）=b（c+a）2>0，h（-c）=c（a+b）2> 0，從而λ<-a，λ<-b，λ<-c，即-λ>a，-λ>b，-λ>c.

②式等價于λ（x2+y2+z2）≤2axy+2byz+2czx≤μ（x2+y2+ z2）.③

先證③式右邊.

其等價于μx2-2x（ay+cz）+μ（y2+z2）-2byz≥0.

由于μ>0，欲使得其對任意實數(shù)x都成立，

則Δx=4（ay+cz）2-4μ［μ（y2+z2）-2byz］≤0，

其等價于（a2-μ2）y2+2（ac+bμ）yz+（c2-μ2）z2≤0對任意實數(shù)y都成立.

由于μ>a，則Δy=4（ac+bμ）2z2-4（a2-μ2）（c2-μ2）z2≤0，

其等價于z2μ［μ3-（a2+b2+c2）μ-2abc］≥0對任意實數(shù)z都成立.

由于μ>0，μ3-（a2+b2+c2）μ-2abc=0，其顯然成立，從而③式右邊得證.

再證③式左邊.

其等價于λx2-2x（ay+cz）+λ（y2+z2）-2byz≤0.

由于λ<0，欲使得對任意實數(shù)x都成立，

則Δx=4（ay+cz）2-4λ［λ（y2+z2）-2byz］≤0，

其等價于（a2-λ2）y2+2（ac+bλ）yz+（c2-λ2）z2≤0對任意實數(shù)y都成立.

由于|λ|>a，則Δy=4（ac+bλ）2z2-4（a2-λ2）（c2-λ2）z2≤0，

其等價于z2λ［-λ3+（a2+b2+c2）λ+2abc］≤0.

花生青枯病在干旱或多雨情況下發(fā)生嚴(yán)重,發(fā)病盛期一般在花生盛花期前,通常日平均氣溫穩(wěn)定在20攝氏度以上, 5厘米深處土溫穩(wěn)定在25攝氏度以上時開始發(fā)病,旬平均氣溫穩(wěn)定在25攝氏度以上，土溫達30攝氏度時進入盛發(fā)期,陰雨或暴雨驟睛,花生青枯病有可能大發(fā)生。

由于λ<0，λ3-（a2+b2+c2）λ-2abc=0，其顯然成立，從而③式左邊得證.

利用以上結(jié)論，可將題1加強為：

題3可加強為：

對任意x，y，z∈R，則-（x2+y2+z2）≤xy+

文［1］從題1、題2出發(fā)，提煉出如下“母不等式”：

設(shè)a，b，c∈R+，對任意實數(shù)x，y，z，則x2+y2+z2≥

由此結(jié)構(gòu)聯(lián)想到著名的嵌入不等式：

若A，B，C是三角形的三個內(nèi)角，x，y，z∈R，則

x2+y2+z2≥2xycosA+2yzcosB+2zxcosC.

將以上兩式比較，發(fā)現(xiàn)④式其實是嵌入不等式在銳角三角形下的代數(shù)形式.

在△ABC中，恒有cos2A+cos2B+cos2C+ 2cosAcosBcosC=1.若A，B，C是銳角三角形的三個內(nèi)角，則cosA>0，cosB>0，cosC>0.令cosA=，將其代入嵌入不等式中，即得到④式.

利用以上結(jié)論，可給出④式的下界，即：設(shè)a，b，c∈R+，對任意實數(shù)x，y，z，p（x2+y2+z2）≤

1.劉曉東.也談“怪異”不等式的證明［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2015（11）.

2.雷安俊.“怪異”不等式的統(tǒng)一證明及推廣［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2016（1-2）.

3.張艷宗，徐佳月.逆向思考，創(chuàng)新思維——也談柯西不等式一個變式的應(yīng)用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2015（1）.Z