導數視角下函數零點問題的多角度探究

筅江蘇省鎮江中學　陳蓬

導數視角下函數零點問題的多角度探究

筅江蘇省鎮江中學陳蓬

函數的零點問題不但能充分體現出函數與方程、分類討論、數形結合、轉化與化歸等數學思想方法，而且涉及知識面廣，綜合性強，對學生的思維能力要求較高，因此函數的零點一直是高考的重點考查內容.本文從三種視角對一道函數零點個數問題進行探究、拓展.

引例已知函數f（x）=lnx-ax+1，a∈R是常數.討論函數f（x）的零點個數.

零點定理與函數零點的存在問題密切相關，定理內容：“若f（x）的圖像在［m，n］上是連續曲線，且f（m）f（n）< 0，則在（m，n）內至少有一個零點，即f（x）=0在（m，n）內至少有一個實數解”.這里所說“若f（m）f（n）<0，則在區間（m，n）內方程f（x）=0至少有一個實數解”指出了方程f（x）=0的實數解的存在性，并不能判斷具體有多少個解.零點存在性定理只能判定零點的存在性，不能判斷零點的個數，但可利用：若函數f（x）在區間［m，n］上單調，且f（m）f（n）<0，則方程f（x）=0在區間［m，n］內必有唯一實根來判斷函數的零點個數.下面以導數法為視角，探究對此類問題的解答.

一、直接求解

導數是研究函數極值、最值、單調性的有力工具，并結合函數的奇偶性來判斷函數的大致圖像，進而可研究函數的零點個數.

當a≤0時，f′（x）>0，（fx）在（0，+∞）上單調遞增，且≤=-1<0，（fe）=2>0，所以函數（fx）有1個零點.

綜上所述，當a>1時，f（x）無零點；當a=1或a≤0時，f（x）有且僅有一個零點；當0

變式1：已知函數f（x）=ex（x2+ax-a），其中a是常數.若存在實數k，使得關于x的方程f（x）=k在［0，+∞）上有兩個不相等的實數根，求k的取值范圍.

解析：令f′（x）=ex（x2+（a+2）x）=0，解得x=-（a+2）或x= 0.

當-（a+2）≤0，即a≥-2時，在［0，+∞）上，f′（x）≥0，所以f（x）是［0，+∞）上的增函數.

所以方程f（x）=k在［0，+∞）上不可能有兩個不相等的實數根.

當-（a+2）>0，即a<-2時，f′（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x0（0，-（a+2））-（a+2）（-（a+2），+∞）f′（x）0-0+ f（x）-a坨a+4 ea+2坻

由上表可知函數f（x）在［0，+∞）上的最小值為f（-（a+2））=

因為函數f（x）在（0，-（a+2））上是減函數，在（-（a+ 2），+∞）上是增函數，且當x≥-a時，有f（x）≥e-a（-a）>-a.

所以要使方程f（x）=k在［0，+∞）上有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍必須是

點評：直接利用導數解決函數的零點個數問題處理方法為：由函數的單調性、奇偶性、極值、最值畫出函數的大致圖像，結合圖像建立含參數的方程（或不等式）組求解.一般來說：若f（x）在其定義域內為單調函數，且滿足零點定理，則有1個零點；若f（x）在其定義域內不單調，則需比較極大值或極小值與0的大小關系，再結合零點定理來判斷.

二、分離參數

含參函數的零點問題，如果能將參數分離出來，可使不確定的函數轉化為確定的函數，進而將問題簡潔求解.通過參數分離后，轉化為具體的函數求解.

所以若a>1，則（fx）無零點；若（fx）有零點，則a≤1.

若a=1，（fx）=lnx-ax+1=0，易知（fx）有且僅有一個零點x=1.

若a≤0，（fx）=lnx-ax+1單調遞增，知（fx）有且僅有一個零點.

綜上所述，當a>1時，f（x）無零點；當a=1或a≤0時，f（x）有且僅有一個零點；當0

變式2：已知函數f（x）=ex，x∈R.

（1）若直線y＝kx＋1與f（x）的反函數的圖像相切，求實數k的值；

（2）設x>0，討論曲線y＝f（x）與曲線y=mx2（m>0）公共點的個數.

（2）問題即判斷方程ex=mx2（x>0）根的個數，兩邊取自然對數得x=lnm+2lnx，即lnm=x-2lnx.

設h（x）=x-2lnx（x>0），則h′（x）=1-x>0），所以，當02時，h′（x）> 0，h（x）單調遞增.所以h（x）min=h（2）=2-2ln2=ln，且當x→0時，h（x）→+∞；當x→+∞時，h（x）→+∞.

所以當lnm0）沒有公共點；

當lnm=ln，即m=時，曲線y=f（x）與曲線y=mx2（m>0）有一個公共點；

當lnm>ln，即m>時，曲線y=f（x）與曲線y=mx2（m>0）有兩個公共點.

點評：在分離參數的過程中參數如果不能單獨分離出來，則可考慮整體進行分離，如變式2，通過將方程兩邊取對數后，將lnm整體分離出來求解.當a>1時，f（x）無零點；當a=1或a≤0時，f（x）有且僅有一個零點；當0

三、分離函數

通過移項將函數零點問題轉化為兩函數圖像交點問題.轉化的方向是化生為熟，即將陌生的函數分解為我們熟悉的基本初等函數，再判斷其交點個數.

解法3：判斷f（x）零點個數，即方程lnx-ax+1=0根的個數，移項得lnx=ax-1，即將問題轉化為函數g（x）=lnx與h（x）=ax-1圖像交點個數.

圖1　

易知h（x）過定點（0，-1），在同一直角坐標系內畫出兩函數圖像，如圖1所示.

由導數的幾何意義，易求得，當a=1時，直線h（x）與函數g（x）相切，由圖易知，當a>1時，f（x）無零點；當a=1或a≤0時，f（x）有且僅有一個零點；當0

變式3：（2015年全國新課標I）設函數f（x）=ex（2x-1）-ax+a，其中a<1，若存在唯一的整數x0，使得f（x0）<0，則a的取值范圍是（%）.

解析：設g（x）=e（x2x-1），y=ax-a，由題知存在唯一的整數x0，使得g（x）0在直線y=ax-a的下方.

因為g′（x）=e（x2x+1），所以當x<-時，g′（x）<0，當x>-時，g（′x）>0，所以當x=-時，g（x）max=

如圖2，當x=0時，g（0）=-1，g（1）=3e>0，直線y=ax-a恒過點（1，0）且斜率為a，故-a>g（0）=-1，且g（-1）=-3e-1≥ -a-a，解得≤a<1，答案為D.

圖2　

點評：對于某些比較復雜的函數不易直接判斷零點個數，可通過移項、整理等途徑，將復雜函數分離為兩個基本函數，進而將問題轉化為兩個基本函數圖像交點問題.本解法通過分離后，判斷出直線過定點，從而找到臨界的a值，這是問題求解的關鍵.F