改善思考問題方法提高學生解題能力

筅江蘇省錫東高級中學　葉琳

改善思考問題方法提高學生解題能力

筅江蘇省錫東高級中學葉琳

數學教學目標之一就是培養學生適應未來生活發展所必需的數學素養，發展智能的同時提高人的素養和解決實際問題的能力.然而出于高考和升學的壓力，學生整天在大量的習題中度過，成為解題的“熟練工”，不少學生把解題規律簡單化為“對題型，套解法”，以做大量的模擬試題去代替數學能力的提高，但是往往成效不大，疲憊不堪.筆者對本校高三學生通過不同方式進行了實證調查，深入訪談和持續關注，發現學生在解題活動中往往出現如下幾個問題：

一、學生解題過程中常見的幾個問題

1.已有知識缺乏，解題經驗不足

學生己有的知識、能力和經驗構成了自身的認知結構，它是接受新知識的基礎，調查中發現很多學生的數學知識和能力基礎比較薄弱，存在支離破碎的甚至錯誤的知識.在解題讀題時學生對題目的條件及問題設問的形式陌生，特別是遇到新情境的問題更是束手無策.

案例1（直線與圓的復習課片斷）若a，b，c成等差數列，點P（-1，2）在直線l：ax＋by＋c＝0上的射影為M，則點N（-，1）到點M的距離的最大值為_____

圖1　

教學片斷回放.（學生分析思考過程）

生：a，b，c成等差數列，得到2b= a+c，設點M（x0，y0），則ax0+by0+c=0.又因為PM⊥l，所以"=-1.后面就想研究點N到點M（x0，y0）的距離d=，上面的三個等式卻不知道怎么用.

師：距離d里面有x0，y0兩個變量，求最值首先想到消元，但發現行不通，直線ax0+by0+c=0的變量更多，怎么用2b=a+c這個條件呢？（學生陷入困惑）

師：將2b=a+c可以代入直線方程，變成ax＋by＋2b-a＝0，能發現什么？

生：a（x-1）＋b（y-2）＝0，直線l恒過定點Q（1，2）.

師：由PM⊥l可以得到什么？

生：射影點M的軌跡是“以PQ為直徑的圓”，方程為x2+（y-2）2=1（.如圖1）

2.讀題審題不細致

認真細致地審題是解題的第一步，也是解題成功的必要前提.著名數學教育家波利亞說：“最糟糕的情況是學生沒弄清問題就進行演算和作圖.”事實發現，學生常對審題掉以輕心，對題目中容易混淆的詞語認識不到位，產生錯解.還有很多學生解題時審題速度很快，有的沒看完題目就匆匆下筆，認為這樣節省解題時間，事實上，審題時條件和結論之間的聯系都沒有分析清楚，往往導致解題的失敗.

案例2（高三某次模擬試卷填空題第6題）在區間［-2，2］上任取兩個整數a，b，使得關于x的方程x2-2axb2+1=0有實數根的概率是_______________.

學生解答如下：x2-2ax-b2+1=0有實數根滿足Δ= 4（a2+b2）-4≥0，即a2+b2≥1，由幾何概型得到概率為

上述問題考查的是有關概率的問題，我們可以看出學生能夠將題目條件正確轉化為數學語言，但是很多學生在讀題時忽略了“整數a，b”，而看成是在區間［-2，2］上取兩個實數a，b，本來屬于古典概型的問題卻當作幾何概型來處理，導致解題失誤.

3.解題后不善于歸納和整理

學生通過整理解題的不同方案，自我糾正錯誤，錯題整理，培養學生的發散思維，鞏固知識和技能，滲透數學思想.事實上我們的學生不善于將問題進行歸納和整理，很多只是零碎的解題方法，形不成知識網絡和解題脈絡.

案例3（高三某次模擬考試第18題）在等差數列｛an｝中，Sn是其前n項的和，已知a2，a5，a14成等比數列，且S20=400.

（1）求數列｛a｝n的通項公式；

（2）求和：a1+a4+a7+…+a3n+1.

對于第（1）問很多學生的解題過程如下：

等差數列的公差d是否為零，是學生容易遺忘的知識點，學生在求解6a1d=3d2時“毫不猶豫”地將d=0約去，不考慮常數列的情況，諸如此類的情況還有：ax2+bx+c=0的方程或者不等式中，容易遺漏a=0的情況，等比數列求和公式中公比q是否為1的情況.盡管學生在平時的學習過程中對于此類問題已經是很熟悉的，但是由于沒有及時地歸納整理，只是形成了表面知識記憶，沒有形成知識網絡結構.

二、提高學生解題能力的途徑

數學教學的重要任務是提高數學解題能力，這一任務應該貫穿于教學始終，它是一項長期復雜的系統工程.筆者嘗試將波利亞的解題表具體化到可操作的步驟：讀題分析—提取組合—解題反思，并付諸于教學實踐，檢驗對提高學生的解題能力是否有幫助.

1.讀題審題訓練，生成合理的問題表征

解題教學的關鍵是指導幫助學生恰當地進行問題表征，尋找解題突破口，讓學生學會分析問題，而非就題論題.在教學過程中，筆者指導學生讀題時要密切注意以下幾個方面：（1）要將題目轉化為數學題目，比如說實際問題（像應用題），要從題目中大量的文字語言描述轉化為數學語言描述出來，要弄清楚問題是屬于哪個數學內容的.（2）列出題目中所給出的條件和要求的.（3）搜索縮小條件和要求的范圍.結合已有的認知結構，確定判斷題目條件和問題中所涉及的知識點，可以用什么方法或者技能來解決.在審題時要兼顧條件與結論，這樣有利于“弄清問題”.

圖2　

案例4（學生的讀題審題訓練）如圖2，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，動點P在△BCD內運動（含邊界），設，則α+β的取值范圍是___________.

讀題分析：首先，題目本身就是數學語言闡述的題目，故不需要將其轉化為數學問題.

其次，條件有5個：“直角梯形ABCD”，“AB⊥AD”，“AD=DC=1，AB=3”，“點P在△BCD內運動（含邊界）”，；問題是“求α+β的取值范圍”.

最后，明確條件和問題之后，開始判斷它們的范圍，“點P在△BCD內運動”，故點P的范圍在三角形內，可能要用到線性規劃來解決.

在教學過程中，筆者要求學生在讀題時養成把題目條件圈出來的習慣，很多學生讀題很馬虎，一目十行，題目還沒看完就下筆去做，結果不是條件漏看了就是看錯了，導致解題錯誤.匆匆讀題后就急于下手，對問題的意義、涉及的概念、相關的知識都不甚理解，解題也就極易出錯.讀題時圈出條件，從視覺感知變得強烈起來，二遍讀題或者審題時可以關注圈出來的條件，減少審題馬虎導致的錯誤.

2.有效提取組合，擬定解題方案

學生要有一定的知識儲備和解題經驗的積累，才有可能形成解題思路.費里德曼說解題就是把題歸結為已經解過的題.解過的題形成了自己的解題經驗，主要包括題目的類型與模型的積累，解題方法與技巧和數學思想方法的積累.

數學問題解決的最基本形式就是化歸，把未知的問題化為已知的問題，把非典型的問題化歸為典型的問題.在和學生嘗試利用波利亞解題模式解題時，筆者給學生這樣的解題步驟：①讀題的同時圈條件，將文字轉化為數學語言，列出條件和問題；②讀題以后，你馬上想起的數學知識有哪些？你從已知、題設能想到什么？從結論中考慮需要什么信息？這兩者如何產生火花？

在實施這樣的解題步驟的過程中，班級的學生由不習慣到慢慢適應，在課堂教學中思維也漸漸活躍起來，一次的習題講評課讓筆者至今記憶猶新！實錄如下：

案例5如圖（圖3）放置的邊長為1

的正方形ABCD的頂點A、D分別在x軸、

y軸正半軸上（含原點）滑動，則OAAB·OAAC

的最大值是_____________.

筆者在呈現出題目后，找學生起來

讀題，學生分析完條件后給出了自己的思路：老師我用平面向量基本定理做的（其中α是的夾角），故得到最大值為2.

圖3　

筆者：很好，Z同學從結論出發利用向量基本定理來處理這個問題，過程嚴謹，表述規范，是同學們學習的榜樣！話音剛落，教室里討論聲想起來，生H站起來：“老師她的解法煩了，我是用平面幾何做的，會很省力的哦.”

圖4　

這樣的百家爭鳴的場景正是筆者需要的，筆者：“真的嗎？說說你是怎么做的？”

生H：過B、C分別作x軸、y軸的垂線，交坐標軸于M、N兩點（如圖4），設AO=a，OD=b，可以證明△AOD，△BAM，△CAN全等，所以OD=AM=CN，OA=DN=BM，設B（a+b，a），C（b，a+b），所以的最大值是2.

此時生M舉手：“老師我是用矩陣變換做的！”“矩陣變換也可以做？”很多同學的臉上呈現驚訝的表情，（矩陣變換是附加里面的內容）筆者也拿不準思路究竟對不對，就讓學生繼續往下說，設A（a，0），D（0，b），則x，y）可以看作是繞A點順時針旋轉90°，（x，y）=≥，求得B的坐標后，同理求C的坐標，最后用數量積的坐標表示，求得答案.下面不由自主地響起了掌聲.

教學活動中老師應充分展示學生的思維過程，培養學生的創造精神和探索精神，當然教師的引領十分重要，對于學生易混淆的問題，要通過變式問題不斷強化，不斷地練習，讓學生來領悟其中的解題奧妙，學會從多角度思考問題的方法.

3.適時解題回顧與反思，溫故而知新

在學生的問題解決過程中，往往只是用來正確和錯誤地判斷自己的答案，而不是認真思考解決問題的過程中所用知識、方法.對于錯的題目等老師公布標準答案，把它抄到筆記本上就沒事了，事實上沒有反思的解題是不完整的.

解題結束后筆者讓學生總結，首先，回顧解本題用到哪些知識？其次，回顧本題的解題方法是什么？在思考過程中哪里出現了思路中斷或者受到阻礙的原因是什么？在哪里遇到了什么困惑？如何處理的等.解題結束后筆者和學生一起分析回顧解題中零星的想法和凌亂的解題思路，梳理解題過程，揭示解題的盲點，突破自己的解題障礙，久而久之，就可以總結出帶有規律性的經驗，可以是解題策略，解題元認知知識等，它們都是今后解題的經驗指南.

以上是筆者選擇高三的學生進行的教學嘗試，主要是想通過學生的解題表現，發現其解題能力的長處和不足之處，而這正是整個高中數學教學結果的體現，從而據此能更好地為高中數學解題教學提供參考建議.

1.董榮森，姚敬東.細化概念教學過程揭示數學本質——以“三角函數的周期性”教學設計為例［J］.中學數學（上），2015（10）.

2.孔幫新.基于多元表征視角下的解題教學［J］.中國數學教育，2015（12）.

3.史曉偉.高中生數學解題能力培養的教學策略研究［J］.數學教學通訊，2014（6）.F