立本溯源優化運算——解析幾何運算的幾點策略

筅江蘇省西亭高級中學　王進

立本溯源優化運算——解析幾何運算的幾點策略

筅江蘇省西亭高級中學王進

解析幾何是歷屆高考試題中的重要組成部分，信息量大，綜合性強，運算要求高，且具有一定的技巧性，需要學生“精打細算”，是考查學生數學機智和意志品質的極好的知識載體.但是，根據每年高考統計的結果，解幾題的得分都偏低.學生對解幾題普遍有“恐懼心理”，主要是恐懼它的繁難冗長的運算過程，而且在于考生往往選擇思維方式最簡易、計算量最大的方法，這樣字母越來越多，式子越來越繁，消不掉，算不出，時常被卡，費時多，很難將運算進行到底，導致半途而廢，這就引發了筆者對“優化運算”的思考.本文結合自己的教學體會，談談優化解析幾何繁難運算的有效策略，供讀者參考.

一、通過回歸本源、緊扣定義優化運算

定義是事物本質屬性的概括與反映.圓錐曲線的許多性質都是由定義派生出來的，對一些圓錐曲線問題，特別是已知條件含有圓錐曲線上的點到焦點（或準線）的距離、離心率等，若能靈活地運用定義去求解，把定量的計算和定性的分析有機地結合起來，則往往能獲得題目所固有的本質屬性，達到準確判斷、合理運算、靈活解題的目的.

圓錐曲線的定義刻畫了圓錐曲線上動點的本質屬性，有著豐富的內涵，利用定義把問題的定性分析和定量計算有機結合起來，思路清晰，易于找到問題的突破口.

圖1　

例1如圖1，已知點F（1，0），直線l：x=-1，P為平面上的動點，過點P作直線l的垂線，垂足為Q，且QBBP·QBBF

（1）求動點P的軌跡C的方程；

（2）過點F的直線交軌跡C于A、B兩點，交直線l于點M，已知求λ1+λ2的值.

解析：（1）設點P的坐標為（x，y），則點Q的坐標為（-1， y），由，得（x+1，0）（2，-y）=（x-1，y）（-2， y），化簡得y2=4x.

圖2　

過A、B分別作準線l的垂線，垂足分別為A′、B′，則由比例性質和拋物線定義得

評注：圓錐曲線的原始定義應用廣泛，對于圓錐曲線中與焦點有關的最值問題、軌跡問題、計算或證明問題，用定義來解會更簡捷.

二、利用平幾知識優化運算

解決解析幾何問題時，往往需要求解涉及含多個參數的兩個以上方程組成的方程組，運算較為復雜，運算能力稍差的同學難以準確迅速求解，甚至半途而廢；若能聯想到題目所涉及圖形的幾何性質，并利用有關幾何性質來解決問題，常常可以峰回路轉，達到巧妙解題的效果.

例2已知點P到兩定點M（-1，0）、N（1，0）的距離比為，點N到直線PM的距離為1，求直線PN的方程.

解析：本題若按常規做法為：設P（a，b），則直線PM的方程為y，即bx-（a+1）y+b=0，于是1=|NH|=

圖3　

于是kPN=tan∠PNM=±1.

因此直線PN的方程為y=±（x-1）.

評注：本題重點考查運算能力，這對考生提出了較高的要求.通過對比上述通法與巧法，讀者很容易看出：運用平面圖形的有關幾何性質來解決一些解析幾何問題，可以有效地避免復雜的代數運算，達到簡捷解題的目的.2013年高考山東卷理科第22題第（Ⅱ）問也可以用此策略來求解.

三、通過設而不求來優化運算

所謂“設而不求”，就是在解題時設一些輔助元（參數）作為媒介，在解題過程中并不求出這些輔助元，只用它們連接已知量和未知量，最后又巧妙地將其消去，求出未知量.在研究直線與二次曲線時，經常討論中點、直線方程、弦長等問題，其慣用方法就是“設而不求”.它不僅可以有效解決相關問題，還可以減少計算量.

（1）求橢圓C的標準方程.

（2）設F為橢圓C的左焦點，T為直線x=-3上任意一點，過點F作TF的垂線交橢圓C于點P、Q.證明：OT平分線段PQ（其中O為坐標原點）.

（2）證法1：由（1）可得F的坐標是（-2，0），設T點的坐標為（-2，m），則直線TF的斜率kTF=-m.

當m=0時，直線PQ的方程是x=-2，也符合x=my-2的形式.

設P（x1，y1），Q（x2，y2），將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯立，得

，消去x，得（m2+3）y2-4my-2= 0，其判別式Δ=16m2+8（m2+3）>0，所以y1+y2=

又直線OT的斜率kOT=所以點M在直線OT上，因此OT平分線段PQ.

證法2：由（1）可得F的坐標是（-2，0），設T點的坐標為（-3，m），則直線TF的斜率kTF=-m.

當m≠0時，直線PQ的斜率kPQ=

設P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x0，y0），則①，=1②.

又直線OT的斜率kOT=-，所以點M在直線OT上.

當m=0時也適合，因此OT平分線段PQ.

評注：證法2利用“點差法”，采用整體代換，避免了證法1中直線代入圓錐曲線，再利用韋達定理的繁雜計算.“點差法”是解決“中點弦”問題的常用方法，它巧妙地運用了“設而不求”的思想，有效地減少了計算量.

四、巧用參數方程或極坐標優化運算

參數方程把曲線上的點的橫、縱坐標分別通過參數直接表達出來，比較清楚地指明了曲線上的點的坐標特征，對于圓錐曲線上與動點有關的最值，以及處理兩線段長度的積和差等問題，有著普通方程無可比擬的優越性.例4如圖4所示，橢圓C：=1的頂點為A1，A2，B1，B2，焦點為F1，F2，|A1A2|=，S荀A1B1A2B2=2S荀B1F1B2F2.

圖4　

（1）求橢圓C的方程；

（2）設n是過原點的直線，l是與n垂直相交于點P，與橢圓相交于點A、B的直線，|OPPP|=1，是否存在上述直線l使APPP·PP

PB=1成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.

（2）設直線l的傾斜角為θ，P（x0，y0），則有：

故不存在這樣的直線l.

評注：本題若采用直線斜截式方程來求解，不僅要分類討論，還要應用點到直線的距離，向量數量積等列方程組，通過判別式、韋達定理來探討方程組解的情況，容易陷入繁冗的運算而不能自拔，導致解題失敗.引入直線參數方程，巧妙地將點到直線的距離轉化到P點的坐標中，向量的數量積能用參數的乘積來表達，從而突破難點，簡化了運算.

圓錐曲線極坐標方程形式的統一給人以美感，結論的簡潔是任何一種形式都無法媲美的，當問題涉及圓錐曲線的焦點弦時，利用極坐標方程往往能收到意想不到的效果.

圖5　

（Ⅰ）求橢圓方程；

（Ⅱ）設A、B是橢圓上位于x軸上方兩點，且直線AF1與直線BF2平行，AF2與BF1交于點P.

（1）若AF1-BF2=，求直線AF1的斜率；

（2）求證：PF1+PF2是定值.

（Ⅱ）（1）以F1為極點，F1F2所在直線為極軸，延長AF1交橢圓于點B′.

設∠AF1F2=θ，AF1=p1，B′F1=p2，則有AF1=p1

由橢圓對稱性有BF2=B′F1=

由AF1-BF2=，得

（2）由p1=

評注：本題若按常規思路用直角坐標系方程求解，需要聯立解方程組，運用兩點間距離公式來求解，計算量較大；而用極坐標方程，幾何條件特征明顯，利于建立相關的關系式和表達式，再進行相應的運算，能簡化計算和論證，使問題的解決思路變得統一、順暢，大大優化了解題的過程.

五、利用向量優化運算

圖6　

（1）證明：AC⊥BD；

（2）略.

常規思路：要證AC⊥BD，即證A為此可設A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），而后利用平面內兩點間距離平方公式對條件等式進行化簡變形.

嘗試：設A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），則|AB|2=（x1-x2）2+（y1-y2）2，|CD|2=（x3-x4）2+（y3-y4）2，|BC|2=（x3-x2）2+（y3-y2）2，|AD|2=（x4-x1）2+（y4-y1）2.又|AB|2+|CD|2= |BC|2+|AD|2，從而（x1-x2）2+（y1-y2）2+（x3-x4）2+（y3-y4）2=（x3-x2）2+（y3-y2）2+（x4-x1）2+（y4-y1）2，然而對于上式其變量之多、結構之復雜，絕大部分同學看到都會心生畏懼，力不從心.

調整思路：考慮到線段長的平方等于該線段所對向量的平方，于是通過向量搭橋，可將轉化為進一步轉化即，然后展開化簡求證

評注：通過向量搭橋來實現條件的合理轉化是本題的一大亮點，它有效地避開了距離平方所帶來的復雜運算，促使了整個解題過程簡捷而富有實效，很值得我們探究和回味.

簡化解析幾何計算的方法和技巧還有許多，本文只給出其基本的五種方法.希望通過本文的闡述，能給讀者帶來一些啟發，進而避開煩瑣的解幾運算，優化解題過程，最終使自己變得更加睿智.Z