分類整合法在高中數學解題中的應用探析

筅江蘇省宜興市丁蜀高級中學　黎明

分類整合法在高中數學解題中的應用探析

筅江蘇省宜興市丁蜀高級中學黎明

分類整合法是數學解題中的基本方法，其不但能提高學生解題的成功率，而且還可有效鍛煉學生思維的嚴密性.文章就分類整合法在高中數學解題中的應用加以探析，旨在充分發揮分類整合法的作用，提高高中學生的數學解題能力.

分類整合法，簡單來說就是將題目中的各個參數按某一數學標準進行分類并加以討論，然后再將分類討論后的結果進行總結歸納，最終解決題目設問的一種方法.在應用分類整合法時要做到科學分類，分類不重復、不遺漏，掌握基本的分類原則和方法，這樣才能真正發揮分類整合法的作用.以下就以實例來說明分類整合法在高中數學解題中的應用.

一、分類整合法應用于函數

在函數問題中，參數值往往是一個變量，參數值的變化會影響結果的變化，因此在解決此類問題時通常要對參數進行分類討論，利用分類整合法可有效簡化問題，從而使學生能快速、靈活地解答問題［1］.

例1當m＝______時，函數y＝（m＋3）x2m＋1＋4x-5（x≠0）為一次函數.

解：（1）當2m＋1＝1且m＋3＋4≠0時，即m＝0時，此函數為y＝7x-5，此時為一次函數；

（3）當m＋3＝0時，即m＝-3時，此函數為y＝4x-5，此時為一次函數.

在此題中，要求解的是函數為一次函數的情況，在此前提下，（m＋3）x2m＋1可以是一次項、常數項，或者為零，針對三種不同的情況要進行分類討論才能做到不遺漏、不重復地將此題完全解決.

二、分類整合法應用于概率

概率計算問題本身就需要依據所設問題按要求將問題中可能出現的情況進行分類分析，然后再對分析結果進行整合，從而得出所設問題事件發生的個數.

例2設集合I＝｛0，2，4，6，8｝，選擇I的兩個非空子集A和B，若要使子集合B中的最小數大于子集合A中的最大數，問有多少種不同的選擇方法？［2］

分析：通過題目已知的條件可知，在解答此題時要特別注意必須符合以下兩個條件：（1）A和B都為非空子集；（2）子集合B中的最小數要大于子集合A中的最大數，如何才能做到在滿足這兩個條件的基礎上使答案不會重復或遺漏呢？很顯然最佳的方法便是分類整合法.

解：（1）假設子集合B中的最小數為2，那么子集合A就只有1種選擇方法，即A＝｛0｝，而子集合B則有8種選擇方法，即子集合B中可以有4，6，8三個數中一個或幾個的組合，但也可以沒有任何一個；

（2）假設子集合B中的最小數為4，那么子集合A有3種選擇方法，即A＝｛0｝，A＝｛2｝或A＝｛0，2｝，而子集合B則有4種選擇方法，即子集合B中可以有6，8兩個數中的一個或兩個，但也可以沒有任何一個；

（3）假設子集合B中的最小數為6，那么子集合A有7種選擇方法，即A是集合｛0，2，4｝的非空子集，而子集合B則有2種選擇方法，即子集合B中可以有8或是沒有8；

（4）假設子集合B中的最小數為8，那么子集合A有15種選擇方法，即A是集合｛0，2，4，6｝的非空子集，而子集合B中只有1種選擇方法，即B＝｛8｝.

最后將進行分類計算的結果進行整合，就可知此題答案為1×8＋3×4＋7×2＋15×1＝49，即共有49種選擇方法.

三、分類整合法應用于數列

數列問題中的數列周期性、等比數列求和通常都會采取分類整合法進行分析和解決.分類整合法在數列問題中有著廣泛的應用.

例3若等比數列｛an｝的公比為q，前n項的和Sn＞0（n＝1，2，3，…），那么q的取值范圍為_______.

解：由｛an｝為等比數列且Sn＞0可知，a1＝S1且a1＞0，而q≠0，

當q＝1時，Sn＝na1＞0；

在對此題進行分析時要注意，因等比數列的求和公式中包括兩種情況，即q＝1和q≠1，而此題未明確q的范圍，因此在分析時應進行分類討論，而不能直接套用基本求和公式

四、分類整合法應用于不等式

不等式中題設所求參數通常也存在很大的變化，參數取值不同，題設所得到的結果也會有所不同.因此，在解決不等式問題時，也可引入分類整合法.

例4設k∈N*，求滿足不等式|m|+|n|

解：本題的情況相對復雜，很難直接給出解答結果，不妨將k作為變量參數，整數解的組數用k來表示并設為g（k）.首先討論特殊情況，然后再分析此題的計算規律，接著作出猜想，最后再將所得出的結論進行證明.

當k＝1時，不等式有解且其解為（0，0），此時有g（1）＝1；

當k＝2時，不等式有解且其解為（0，0），（0，±1）或（±1，0），此時有g（2）＝1＋4＝5；

當k＝3時，不等式有解且其解為（0，0），（0，±1），（0，±2），（±1，0），（±1，±1）或（±2，0），此時有g（3）＝1＋4＋4×2＝13；

當k＝4時，不等式有解且其解為（0，0），（0，±1），（0，±2），（0，±3），（±1，0），（±1，±1），（±2，0），（±3，0），（±1，± 2），（±2，±1），此時有g（3）＝1＋4＋4×2＋4×3＝25.

由此我們可猜想：g（k）＝1＋4×1＋4×2＋4×3＋…＋4（k-1）＝1＋2k（k-1），

從而推出遞推公式g（k）＝g（k-1）＋4（k-1）.

在解決不等式問題時，通常是采取分類的方法，根據題目已知代入特殊情況，通過分析特殊情況的計算規律，采取整合的方式得出題設問題的最終答案.

五、分類整合法應用于幾何問題或證明題

圖1　

幾何問題是高中數學的重點和難點，幾何問題多以證明題方式出現.通常幾何問題中都會設置一個可變參數，使學生難以著手解決，為此可采取分類整合法來進行分析，先分析普遍情況，然后再結合題設來分析具體的問題.

例5如圖1，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC內任意一點，且∠AOB＞∠AOC.

證明：OB＜OC.

分析：三角形中有大邊對大角、小邊對小角的理論，本題就需利用這一理論進行證明，首先分析普遍情況，然后再依據所得出的結論進行分類討論，最后將討論結果進行整合，得出最終結論，進行最后的證明.

證明：設∠AOB＝α1，∠AOC＝α2，∠ABO＝β，∠ACO＝γ，

因為AB＝AC，

又因為∠AOB＞∠AOC，即α1＞α2，且α1＋α2＞180°，

所以90°＜α1＜180°，0°＜α2＜180°.

在此情況下，sin α2為非單調函數，需分類進行討論：

（1）當α2≥90°時，

因為α1＞90°，且α1＞α2，則有sin α1＜sin α2，

所以sin β＜sin γ，且β，γ＜90°，則有β＜γ.

（2）當α2＜90°時，

因為α1＞90°，則有180°-α1＜90°.

又由α1＋α2＞180°，可得α2＞180°-α1.

所以sin α1=sin（180°-α1）

所以sin β＜sin γ，且β，γ＜90°，則有β＜γ.

由題目已知可得∠ABC＝∠ACB，∠OBC＞∠OCB，

所以OB＜OC.

在本題中，由普遍情況出發，在討論了一般情況之后，再針對所得出的結論進行分類討論，將可能出現的情況一一羅列并進行證明，最后整合所有證明結果得出最終結論.

六、分類整合法應用于不確定圖形

在高中數學解題中，因圖像、圖形或點的位置不明確，可能存在多種情況，如二次函數圖像的頂點問題、空間圖形的位置關系、曲線與曲線的關系等，所以也需進行分類討論，從而保證圖形的最終確定.

例6設k∈R，那么方程（8-k）x2＋（k-4）y2＝（k-4）·（8-k）所表示的曲線是什么？

解：（1）當k＝4時，原方程為4x2＝0，則x＝0，此時方程表示直線；

（2）當k＝8時，原方程為4y2＝0，則y＝0，此時方程表示直線；

若k＜4，則方程表示為雙曲線；

若4＜k＜6，則方程表示為橢圓；

若k＝6，則方程表示為圓；

若6＜k＜8，則方程表示為橢圓；

若k＞8，則方程表示為雙曲線.

這種分類整合的方法不但囊括了題設參數所有可能存在的情況，而且通過對不同情況的分析還能進一步證明所分析情況的正確性.

分類整合法是高中數學解題中常用的一種方法，將分類整合法應用于高中數學解題中，不但可提高學生分析問題和解決問題的能力，而且還可培養學生的數學思維，有利于提高學生解題過程中思維的縝密性和靈活性，幫助提高學生的學習效率.在教學過程中，教師應鼓勵學生多利用分類整合法來解決問題，從而促進學生未來學習的發展.Z