再談多解性教學在向量復習中的有效性

筅江蘇省連云港市新浦中學　史曉偉

再談多解性教學在向量復習中的有效性

筅江蘇省連云港市新浦中學史曉偉

眾所周知，一題多解是中學數學的優良傳統.從新課程教學來看，以往的一題多解僅僅是對于問題的一個多角度解答，是從不同的方向、不同的思路去審視分析同一題中的數量關系，從而用不同的方法得到相同的結果.在復習中適當地進行一題多解的訓練可以激發學生的創造激情，加深對已學知識的鞏固，訓練數學思想和數學方法的嫻熟運用，鍛煉思維的廣闊性、深刻性、靈活性及創造性.今天多解性教學是在此基礎上的一個挖掘和提高，其更注重了解答過程中所使用的基本知識和基本技能，還囊括了所涉及的數學思想方法，多解性教學更是在復習教學中對于所涉及的知識整體性角度做出一些分析，并從教師教的角度對知識進行了滲透，從學生學的角度進行了整合.用一句話概括，多解性教學不僅涉及問題的過程與方法，更注重了知識背后的思想方法和知識間的聯系，進而成為提升復習教學有效性的重要教學方式.

一、知識整合的角度

多解性教學不僅僅是思考多種解決問題的角度，更要思考這些知識間的聯系，為什么試題背后常常使用這些基本知識和基本技能？比如，在高三復習中，很多問題類似，做很多次，學生還是做錯或者不會做？這是為何呢？學生總說：我忘記了方法.那么，這忘記的背后原因是什么呢？從基本問題的角度來說，筆者認為知識整合性不足是學生對于問題缺少多角度思考的重要因素.因此，復習教學中關注多解性在知識整合角度的滲透是提高問題解決能力的一個關鍵.

A.組成銳角三角形B.組成直角三角形

C.組成鈍角三角形D.在同一條直線上

分析：這是一道情境新穎、知識錯綜交匯、思維入口開闊、值得研究的問題.

思路1：數量積問題自然應該從知識最基本的角度出發——從向量數量積出發.

解法1：設BBBC·CBBA=3t，CBBA·ABBB=4t，ABBB·BBBC=5t，得-a· bcosC=3t，-b·ccosA=4t，-c·acosB=5t，即a2+b2-c2=-6t，b2+ c2-a2=-8t，a2+c2-b2=-10t，解得a2=-8t，b2=-7t，c2=-9t，其中t<0，由余弦定理得cosC<0，即這三點可以組成銳角三角形.

點評：本方法是同學們的首選方法，利用數量積、余弦定理及方程的思想，體現轉化化歸思想.

思路2：數量積是中學向量運算最高的級別，高級別的運算是向量最基礎運算——向量和差運算的積累，從這里整合入手.

點評：本解法通過向量的和差運算實現三角形三邊比例關系，明顯較解法1運算少得多，并通過余弦定理實現知識體系縱橫聯系.

思路3：在頭腦中的知識若僅僅能正向運用，那么對于問題的思考力度還是缺乏辯證哲學思想的，要提高復習教學的有效性，更需要從“正難則反易”的哲學角度思考，從特殊情況進行排除，選擇題還是靈活機動地用特殊值檢驗或排除.

若是直角三角形，則必有一個為0，不合題意，排除B；若是鈍角三角形，則比例系數一正兩負，不合題意，排除C；若是三點共線，則數量積的值不同號，排除D；所以選擇A.

思路4：對于本題多解性思考的另外一個角度，則是向量數量積與三角形面積公式中的元素比較接近，從這一知識整合角度出發，從向量結合面積公式，自然有點悠然見南山的感覺.

解法4：不難發現，S△ABC=absinC=bcsinA=casinB，所以=3t，所以tanC=-

所以tanA、tanB、tanC都是正數，即這三點可以組成銳角三角形.

點評：本解法利用向量的數量積的概念，能聯想到三角形面積公式，化去邊用角來確定三角形形狀，不失為好方法.

多解性整合的再思考：從上述問題解決的角度來說，將數量積知識整合在不同的解答中，有效地整合了向量相關的各種基本知識，這些知識的橫向思考和縱向運用，大大加強了學生對于知識運用的能力，筆者認為對于有效的試題還需要進一步從多解性教學中加強思考的眼光.

二、后續思考的角度

從上述的不同四種解法，不難得到以下問題推廣：

點評：向量是新課標中的必修內容.由于向量具有數與形的雙重性，也使得向量與教材其他內容相比，更具獨特性.正是由于向量的上述特征，高考命題者對向量內容格外青睞，在命制有關向量問題時，呈現形式鮮活，知識縱橫交匯，可謂匠心獨具，從而使得向量試題成為高考試卷中一道亮麗的風景.因此，向量復習教學追求的是高效率的復習方法，就是做盡量少的題，復習盡量多的基礎知識，因此在做一道題時要盡量用各種不同的基礎知識去求解，也就是用一題訓練多個知識點，由一題掌握多法，利用一個問題發散知識的廣度，提高知識運用的整合性，從而獲得事半功倍的效果.

三、思想方法的角度

多解性教學并不只是解決單一的問題，而是要從典型問題的解決中尋求知識背后涉及的本質和思想方法，唯有更有深度的挖掘，才能使得多解性教學有別于以往的一題多解，才能在思想認識的深刻性上有更多的啟發.

問題2：已知a·b=0，向量c滿足（c-a）·（c-b）=0，|ab|=5，|a-c|=3，則a·c的最大值為________.

解法1：（圖形化思想）設|a|=a，|c|=c，則由已知條件a·b=0，（c-a）·（c-b）=0，如圖1，易得Rt△ABC和Rt△OAB中，∠AOB=∠ACB=90°且O、A、C、B四點共圓，圓的直徑就是5，又由圓的性質可設∠AOC=∠ABC=θ，在Rt△ABC中，cosθ=，則在△OAC中，由余弦定理及基本不等式得32=|AC|2=a2+c2-2accosθ≥2ac-2ac×ac，所以ac≤，所以a·c=a·c·cosθ≤=18.

圖1　

圖2　

解法2：（代數化思想）以C為坐標原點，以CA為y軸，以CB為x軸建立平面直角坐標系，如圖2，易得A（0，3）、B（4，0），設O（x，y），則a=（-x，3-y），b=（4-x，-y），c=（-x，-y），因為a·b=-4x+x2-3y+y2=0，即y2-3y=4x-x2，所以a·c= x2+y2-3y=x2+4x-x2=4x.而O（x，y）的橫坐標x的取值范圍為≤，所以4x∈［-2，18］，從而a·c的最大值為18.

點評：代數思想和幾何思想解向量問題本身就是向量自身特點決定的，學生在向量問題中的困擾一直存在，其認為向量問題往往靈活性強、難度大，殊不知從思想方法的角度來說，唯有兩種常規思想的介入，即幾何圖形化思想和代數運算的力量，只要選擇合理的角度去嘗試，久而久之勢必會在向量問題解決的經驗上有更多的積累.

問題3：設e1，e2為單位向量，非零向量b=xe1+ye2，x， y∈R，若e1，e2的夾角為的最大值等于________.

解法1：（圖形化思想）不妨設x≠0，由b=xe1+ye2，x， y∈R，則

點評：兩種不同的方式解決向量問題，我們發現利用圖形化，掌握圖形變化的本質，數形結合，直觀而簡潔，利用代數法是從函數入手，通過相關運算得到一個二元函數，然后換元轉換為一元函數求解最值.相比而言，思想方法的結合，使得問題的走向脈絡清晰，通俗易懂.

總之，縱觀高中數學，很多知識之間存在聯系，對典型例題解法的總結、回味與“提煉”，變重解題的數量為重解題的質量和解題后的反思.力求做到吃透一道題，掌握一類題，悟出一些方法、道理，從題海中解放出來.總之，我們高三復習應倡導多解性教學，作為一線的老師就要適當選好題組，選好解題方向，起到“授人以漁”的作用.作為中學數學教師，多一點觀察生活、多一點讀書思考，使得數學教學與時俱進，教學中少點兒“命令式”，多點兒“探究式”；少點兒強硬灌輸，多點兒數學欣賞，不僅使教師自身積累美的涵養，也產生良好的教學效果，使課堂具備生命力.教師重視在數學知識和數學思想方法間討論聯系、揭示數學知識本質，學生就會少一些困惑和驚奇，有利于幫助他們看透問題，多角度地思考問題，正所謂“漫江碧透，魚翔淺底”！

1.章建躍.理解學生理解數學理解教學［J］.中國數學教育（高中版），2010（12）.

2.康宇，馬躍進.賞析2011年高考精彩向量題［J］.數學通訊，2011（9）.F

圖3