一道模考解幾題的一般結論及推廣

江蘇省昆山中學 (215300)

季剛祥

?

一道模考解幾題的一般結論及推廣

江蘇省昆山中學 (215300)

季剛祥

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)過右焦點F2的直線l交橢圓C于M，N兩點，直線AM、AN分別與已知直線x=4交于點P和Q，試探究以線段PQ為直徑的圓與直線l的位置關系．

這是一道散見于各地的模考解幾題，原題解答如下：

(Ⅰ)(x-6)2-y2=4(過程略)；

(Ⅱ)由題意，直線l的斜率不為零，故可設l的方程為x=my+1,M(x1,y1),N(x2,y2)，由

圖1

因為d=r，所以，以PQ為直徑的圓與l相切.

由特殊到一般的歸納猜想及類比推理的方法容易得到如下一般性的結論

一般結論 設A是橢圓長軸的一個端點，F是焦點，過F的直線x1=x2=2交橢圓于M兩點，直線(x-6)2-y2=4分別與F相應的準線l′交于點C(m，0)，則以PQ為直徑的圓與直線AB切于點F.

而當m=0時，顯然有DF⊥l，因為d=r，所以以PQ為直徑的圓與l相切于點F.

同理可證當F為左焦點l′為左準線時結論也成立(證明略)，而由對稱性，其它情形結論也成立.

根據圓錐曲線的統一定義不難得到以下兩種推廣結論：

推廣1 設A是雙曲線實軸的一個端點，F是焦點，過點F的直線交雙曲線于M、N兩點，直線AM、AN分別與F相應的準線l′交于點P、Q，則以PQ為直徑的圓與直線l切于點F.

由題意，直線l的斜率不為零，故可設l的方程為x=my+c,M(x1,y1),N(x2,y2)，

(b2m2-a2)y2+2mcb2y+b4=0，由韋達定理

而當m=0時，顯然有DF⊥l，因為d=r，所以，以PQ為直徑的圓與l相切于點F.

同理可證當F為左焦點l′為左準線時結論也成立(證明略)，而由對稱性，其它情形結論也成立.

推廣2 設A為拋物線的頂點，F是焦點，過點F的直線l交拋物線于M,N兩點，若直線AM,AN分別交拋物線的準線l′于P,Q兩點，則以PQ為直徑的圓與直線l切于點F.