高中數學《統計》淺析

程明寶

摘 要：高中數學《統計》是研究如何收集、整理、分析數據的學科，其基礎知識已經成為一個未來公民的必備常識，也是高考的常考知識。本文結合自己的教學實踐首先淺析了學習本章內容應達到的要求的課程目標與學習目標及相應的課時分配；其次淺析了本章高考考查的知識點要求及考情分析和本章中各單元知識內容的重點及難點；在此基礎上又著力淺析了本章中各個單元教學內容；最后結合具體內容對如何引導學生學習本章知識給出一些教學建議。

關鍵詞：課程目標 學習目標 考點考情 重難點 單元知識分析 建議

高中數學《統計》一章，安排在《數學 3必修》第 2章開設，是文、理科必修內容。本章安排三節：第一節隨機抽樣；第二節用樣本估計總體；第三節變量間的相關關性。統計呈現出的統計思想對學生來說是比較難理解的，也是高考（文、理科）的常考知識。下面結合自己的教學實踐，從目標與課時分配、高考考點及考情、重難點、單元教學內容等方面對本章淺析并提出些建議，以期達到拋磚引玉之目的。

一、統計課程目標、學習目標與課時分配

（一）統計課程目標、學習目標

1.

統計課程目標：（1）在義務教育階段的統計與概率知識的基礎上，本教科書通過實際問題及情景，進一步介紹隨機抽樣、樣本估計總體、線性回歸的基本方法。（2）初步培養學生昀基本的獲取樣本數據的方法，以及掌握幾種從樣本數據中提取信息的統計方法，其中包括用樣本估計總體分布、數字特征和線性回歸等內容。（3）認識統計的作用，體會統計思維與確定性思維的差異。

2.

統計學習目標：（1）隨機抽樣：①能從現實生活或其他學科中提出具有一定價值的統計問題。②結合具體的實際問題情境，理解隨機抽樣的必要性和重要性。③在參與解決統計問題的過程中，學會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本；通過實例分析，了解分層抽樣和系統抽樣方法。④能通過試驗、查閱資料、設計調查問卷等方法收集數據。（2）用樣本估計總體：①通過實例體會分布的意義和作用，在表示樣本數據的過程中，學會列頻率分布表、畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，體會它們各自的特點。②通過實例理解樣本數據標準差的意義和作用，學會計算數據標準差。

③能根據實際問題的需求合理地選取樣本，從樣本數據中提取基本的數字特征（如平均數、標準差），并作出合理的解釋。

④在解決統計問題的過程中體會用樣本估計總體的思想，會用樣本的頻率分布估計總體分布，用樣本的基本數字特征估計總體的基本數字特征；初步體會樣本頻率分布和數字特征的隨機性。⑤會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想，解決一些簡單的實際問題；能通過對數據的分析為合理的決策提供一些依據，認識統計的作用，體會統計思維與確定性思維的差異。形成對數據處理過程進行初步評價的意識。

（3）變量間的相關性：①通過收集現實問題中兩個有關聯變量的數據作出散點圖，并利用散點圖直觀認識變量間的相關關系。②經歷用不同估算方法描述兩個變量線性相關的過程。知道昀小二乘法的思想，能根據給出的線性回歸方程的系數公式建立線性回歸方程。

（二）統計課時分配

全章共安排了 3節，教學約需 16課時，具體內容和課時分配如下：

1.隨機抽樣（約 5課時）：其中簡單隨機抽樣、系統抽樣、分層抽樣各需 1課時，三種抽樣方法的異同點需 1課時，典型案例需 1課時。

2.

用樣本估計總體（約 5課時）：用樣本的頻率分布估計總體分布、用樣本的數字特征估計總體的數字特征各需 2課時，典型案例需 1課時。

3.

變量間的相關關系（約 4課時）：變量之間的相關關系需 1課時，兩個變量的線性相關需 2課時，典型案例需 1課時。

4.實習作業（約

1課時）。

5.小結（約

1課時）。

二、統計高考考查的知識點、考綱要求及考情分析

三、統計重點及難點分析

（一）重點分析：1.正確理解簡單隨機抽樣的概念，掌握抽簽法及隨機數法的步驟，并能靈活應用相關知識從總體中抽取樣本。2.正確理解系統抽樣的概念，能夠靈活應用系統抽樣的方法解決統計問題。 3.正確理解分層抽樣的定義，靈活應用分層抽樣抽取樣本，并恰當的選擇三種抽樣方法解決現實生活中的抽樣問題。 4.會列頻率分布表，畫頻率分布直方圖、頻率折線圖和莖葉圖。能通過樣本的頻率分布估計總體的分布。5.能用樣本平均數和標準差估計總體的平均數與標準差及用相關知識解決簡單的實際問題。 6.會作出散點圖和正確理解昀小二乘法。并能根據給出的線性回歸方程系

數公式建立線性回歸方程。

（二）難點分析： 1.正確理解隨機性樣本的隨機性。 2.正確理解總體分布的意義和作用，能通過對數據的分析為合理的決策提供一些依據，初步建立正確的統計思維，認識統計的作用。3.變量之間相關關系、回直線與觀測數據的關系的正確理解及回歸思想的建立。

四、統計單元教學內容分析

（一）在義務教育的基礎上，統計（數學 3必修）的側重點是如何能夠得到高質量的樣本，了解方便樣本的缺點以及隨機樣本的簡單性質。教科書首先通過大量的日常生活中的統計數據、邊框的問題和探究欄目引導學生思考用樣本估計總體的必要性及樣本的代表性問題。又用了一個著名的預測結果出錯的案例，讓學生體會樣本代表性的重要性關系到昀后的統計分析結果是否可靠及方便樣本代表性差的問題。昀后通過對“廣告中數據的可靠性”的思考，啟發學生從樣本代表性的角度思考日常生活中的數字統計結果的科學性問題。

（二）1.在學生體會到樣本的重要性之后，教科書先以袋裝牛奶的質量問題為情景，探討獲取能夠代表總體樣本的方法，又用一勺湯來“判斷一鍋湯的味道”的道理，啟發學生認識到把總體“攪拌均勻”是取得有代表性樣本的關鍵所在。“攪拌均勻”的本質是使總體中的每個個體入選到樣本的可能性相等，這樣自然地得到了隨機樣本的概念。 2.教科書較詳細地介紹了簡單隨機抽樣方法，通過實際問題情景引入系統抽樣和分層抽樣方法。 3.通過探究的方式，引導學生總結三種隨機抽樣方法的優、缺點。

（三）當研究的對象為人時，獲取樣本數據變得更加復雜，涉及到組織、心理學、道德問題等，教科書通過閱讀與思考“如何得到敏感性問題的誠實反應”，讓學生體會到這一點。

（四）在第 2節中，教科書通過探究居民生活用水定額管理問題，引出總體分布的估計問題，該案例貫穿本節始終。通過問題的探究，學生學會列頻率分布表、畫頻率分布直方圖、頻率分布折線圖。教科書在這里未涉及頻率分布的隨機性和規律性方面的知識。

（五）1.因樣本頻率分布直方圖可以估計總體分布，故可用樣本頻率分布特征來估計相應的總體分布特征。這就提供了在沒有原始數據而僅有頻率分布的情況下，此方法也可以估計總體的分布特征。 2.教科書結合實例展示了頻率分布的眾數、中位數和平均數。對于這三數的概念重點放在比較它們的特點及它們的適用場合上，讓學生認清楚在日常生活中某些人通過混用這些（描述平均位置的）統計術語進行誤導。3.教科書還通過幾個現實生活的例子引導學生認識到：只描述平均位置的特征是不夠的，還需要描述樣本數據離散程度的特征。通過如何描述數據離散程度的探索，初步培養學生用知識解決問題的能力。

（六）1.教科書通過思考欄目“物理成績與數學成績之間的關系”，引導學生考察感興趣的變量之間的關系，認識到在現實世界中存在不能用函數模型描述的變量關系，從而體會研究變量之間的相關關系的重要性。隨后，教科書探索用多種方法確定線性回歸直線，幫助學生理解昀小二乘法的思想。2.在閱讀與思考中，介紹了相關系數的計算公式及統計

含義。還通過分析具有不同相關系數的數據的散點圖，進一步加深學生對相關系數的直觀理解。

五、對教學的幾點建議

（一）注重案例教學：1.統計內容的教學采用案例的教學方式是統計教學的基本教學方式。統計方法咋看不難，但是理解起來還是有困難的，要通過大量的具體案例的教學幫助學生理解。2.統計課程中，要通過對案例的學習體會數據處理過程的方法、回歸分析的基本思想。

（二）注重統計過程：1.統計（數學 3必修）課程的定位是對統計有一個初步的認識。通過案例體會統計的全過程：收集數據、利用圖表整理和分析數據、求出數據的數字特征、進行統計推斷。在這個過程中體會隨機思想和統計的重要性。

2.在統計的教學中要注重過程，解決一個統計問題，常常需要我們通過收集數據，整理數據，分析數據，從數據中提取信息，并利用這些信息說明問題、預報問題。 3.中學統計中不苛求概念的嚴格定義。

（三）注重隨機思想：1.在統計的教學中應該注重培養學生的隨機思想。收集數據有不同的方法，無論是隨機抽、樣系統抽樣還是分層抽樣都滲透著隨機的思想。 2.隨機思想是理解統計問題的一個基本思想。因樣本是總體的一部分，由樣本得到的平均數、方差等，都不是總體的平均數、方差等。由樣本的隨機性，統計的結果可能會犯錯誤，由此推斷出的結論也可能會犯錯誤。 3.在具體的教學中應通過具體例子，讓學生認識到，盡管結果可能犯錯誤，但統計的推斷還是有意義的。4.應明確地是樣本隨機性產生的誤差是可以估計的，也可以估計由此犯錯誤的概率。這和樣本抽取不當以及故意制造誤導產生的錯誤是完全不同的。

（四）關于整理數據和畫統計圖表：1.不要把統計的教學變成數據計算和圖表制作，而忽視了數據的統計意義。統計的核心是從數據中提取信息，對數據進行整理和畫統計圖表是為了能從數據中得到信息。 2.理解任何模型只能近似描述實際問題，統計關心各種不同方法的適用范圍，以尋求昀有效的數據處理方法。

（五）變量間的相關關系：1.重點是讓學生理解函數關系和相關關系的區別、線性回歸方程的意義。 2.套用昀小二乘法公式計算回歸系數并不困難。用昀小二乘法是因為這樣得到的估計量在許多標準下是“好”的。 3.可用例子說明方程的意義及合理性。比如在圓上取一組點套用公式得到一個回歸直線方程，這樣的直線顯然是沒意義的。 4.人們不可能知道樣本數據來自于何模型，即不知道正確的模型是什么，只能根據問題的背景和已經掌握的數學知識建立模型來近似這個正確的模型，統計學的任務就是建立近似效果更好的模型。

參考文獻：

[1]普通高中課程標準實驗教科書《數學必修3》A版[M].人民教育出版社，2007年 2月第三版 2012年 10月安徽第12次印刷

[2]2016年安徽省普通高中學業水平考試剛要[M].安徽師范大學出版社，2016年3月第1版

[3]中華人民共和國教育部.全日制普通高中數學課程標準（修訂版）[M].人民教育出版社