基于交通流模型的小區開放政策研究

南京郵電大學 殷越銘 包曉潔 黃雅純

基于交通流模型的小區開放政策研究

南京郵電大學 殷越銘 包曉潔 黃雅純

本文首先根據基本交通流模型定義車流量、車流密度、車速函數，探討交通流基本規則得到平均流量以及平均車速與平均車流密度的關系；利用車流守恒方程推導車流密度基于道路位置、時間的一階擬線性偏微分方程，然后對其求解得到特征線并給出車流密度函數及其圖像，建立基于路段車輛通行的連續交通流模型，在此基礎上推廣得到基于交叉路口通行規則的間斷交通流模型；最后選取高要廣塘小區某一路段代入模型求解，并對連續交通流模型進行靈敏度分析。

微分方程 連續交通流 間斷交通流模型

1 研究背景

隨著我國經濟的快速發展，城市規模的不斷壯大，人口和汽車數量也日益增多，而城市空間和道路資源有限，致使城市交通問題日益突出。從2016年初國務院提出關于街區制小區和單位大院開放的意見以來，城市規劃和交通管理部門就小區開放對周邊道路通行的影響進行了研究。

2 問題分析

考慮到反映車輛通行狀況的指標眾多，我們選取其中的車流量作為研究對象，使用模擬近似法建立計算道路各點交通流的微分方程模型。通過查閱相關文獻[1]，我們從高速公路上的基本交通流出發，引入車流量、車流密度、車速關于時間的三個函數來描述車流，并逐步得到連續交通流狀態下以及間斷交通流狀態下的車流量微分方程，用以研究小區開放對周邊道路車輛通行的影響。

3 交通流模型的建立

3.1 理想狀態下的模型準備

我們首先考慮理想狀態下高速公路上的交通流狀況，此處假設理想狀態為所有車輛沿同一方向的一條無窮長的單車道行駛，沿途沒有岔路口以及其他出入口，且在單車道內不允許超車。

在直角坐標系中，以 軸表示公路，軸正向為車輛運行方向，針對每一時刻以及道路每一點 ，引入以下三個函數來描述車流狀況。

(1)車流量q關于時間K(x,t)t、道路點的函數q(x,t)，表示時刻單位時間內通過點x的車輛數。

(2)車流密度函數，表示t時刻點x處單位長度內通過的車輛數。

(3)車速函數V(x,t)，表示t時刻通過點 的車流速度。

易知以上三個函數之間存在密切關系，也就是單位時間內通過點 處的車輛數等于車流速度與單位長度內車輛數的乘積。即

為了便于觀察研究公路交通流的規律，我們作出如下假設：

(1)假設車速僅和車流密度有關，即V=V(K)，且隨著車流密度的增加，車速減慢，從而有V'(P)=dv/dp≤0。

(2)假設當道路上車輛很少時，行車可以最大速度行駛，即存在臨界車流密度pc，使得。

(3)假設當交通擁擠甚至發生堵塞時的車流密度為pmax，此時汽車幾乎停止不動，有可能發生碰撞。即V(pmax)=0，且，l是汽車的平均長度。

圖1 車流量關于車流密度的函數圖像

3.2 基于非路口路段處連續交通流模型的建立

3.2.1 基本模型建立

為了描述交通流關于時間的動態情況，進一步研究q、p、v之間的關系，我們假設車流量函數q(x,t)、車流密度函數p(x,t)、車速函數v(x,t)關于x、t是連續可微的，可通過建立微分方程來描述交通流狀況。

考慮任意時刻，單位時間內通過道路點a、b的車流量分別為q(a,t)和q(b,t)，即在x軸上任意區間[a,b]內通過的車輛數為，其單位時間內變化率為：

假設公路沒有岔路口，故單位時間內任意區間[a,b]通過的車輛數守恒，于是我們建立如下的車輛守恒方程：

根據q(x,t)和p(x,t)的解析關系，我們對公式(6)進行如下變換：

假設f(x)為初始車流密度，于是根據公式(8)，可以將連續交通流方程化為：

上述方程描述了任意時刻公路上各處的車流分布狀況，可根據車流量關于車流密度的函數得知任意時刻的車流量。

3.2.2 模型的進一步分析與完善

設道路點x是關于時刻t的函數x(t)，利用求解擬線性偏微分方程的相關方法求得公式(4)在t=0時的解如下：

公式(6)有明顯的幾何意義，其中第二個表達式在x-t坐標系中表示一簇直線，斜率，與x軸的交點為x0。若函數給定，則k隨x0的變化而變化，這一簇直線稱為方程(4)的特征線。而公式(6)中的第一個表達式表明在給定特征線下，車流密度為常數。

從公式5、公式6的形式上來看，只要q(p)和f(x)已知，公式(5)的解即為公式(6)。但若對公式(6)的特征線進行分析，發現只有當車流密度函數f(x)為減函數時，才能使得以上結論成立。因為當f(x)為減函數時，沿車輛行駛方向的車流密度不斷減小，車輛可以加速行駛，即此時的交通流是連續的。而當f(x)為增函數時，則會發生交通堵塞，車輛行駛速度則為出現由快變慢的突變過程，從而導致車流密度函數p(x,t)和車流量函數q(x,t)出現間斷的情況，因此公式(5)就不適用于反映此時的交通流狀況，需要尋找其他方法進行描述。

3.3 基于交叉路口間斷交通流模型的建立

由2.1可知，當f(x)為減函數時，車流密度函數p(x,t)和車流量函數q(x,t)會出現間斷的情況。假定在任意時刻t，車流密度在x軸區間[a,b]上的間斷點x=xd(t)(a

則車流密度p和車流量q在間斷點xd處的跳躍值記為：

4 交通流微分方程的求解

為進一步分析上述模型，我們選取連續交通流狀態作為研究對象。

(2)根據公式4可知，對q(p)函數進行求導，得到

式中，x0為初始點，l為路段長度。

(4)將公式9、10代入公式5中的x(t)函數，得到：

圖2 不同x-t取值下的特征線圖

通過觀察圖2，發現不同初始點取值下的特征線不相重合，且車流密度也不同，具體的初始點取值及其對應車流密度如表1所示。

表1 不同初始點取值及其對應車流密度

圖3 車流密度關于車輛位置、時間的主視圖

圖4 車流密度關于車輛位置、時間的斜視圖

通過觀察圖3和圖4，我們發現車流密度以及車流量關于觀測點與路段起點距離、時間的三維立體圖都是由眾多線段構成，這些線段投影到x-t平面上即為各條特征線。且在同一特征線上的車流密度以及車流量相同，也就是說這些線段皆是與x-t平面平行的線段。

5 靈敏度分析

我們采用靈敏度分析檢驗模型的穩定性，即通過改變部分參數的值，研究對道路車流量的影響。

(2)改變路段長度，分別取0.8km、0.9km、1.0km，得到其他參數不變只有l改變情況下的車流量變化圖，如圖6所示。

圖5 Vmax改變對車流量影響的靈敏度分析

圖6 l改變對車流量影響的靈敏度分析

6 結果分析

通過代入參數計算理論車流量，與肇慶高要廣塘小區附近路段車流量實際統計數據進行對比，發現相對誤差均在以下，充分說明了所建模型的準確性與合理性。本模型可應用于任意實際小區抽象簡化出的二維道路交通流模型，通過開放前后對進出小區的干道交通影響的比較，能夠較為準確地反映該小區是否適合開放。

[1] 施曉青.微分方程模型在交通領域的應用[J].交通科技,2006 (6).

[2] 郭躍華,陸志峰,王建宏.城市交叉路口汽車通行模型[J].科學與工程,2010(20).

F069

A

2096-0298(2016)10(c)-150-03