基于交通流模型的小區(qū)開放政策研究

南京郵電大學(xué) 殷越銘 包曉潔 黃雅純

基于交通流模型的小區(qū)開放政策研究

南京郵電大學(xué) 殷越銘 包曉潔 黃雅純

本文首先根據(jù)基本交通流模型定義車流量、車流密度、車速函數(shù)，探討交通流基本規(guī)則得到平均流量以及平均車速與平均車流密度的關(guān)系；利用車流守恒方程推導(dǎo)車流密度基于道路位置、時(shí)間的一階擬線性偏微分方程，然后對(duì)其求解得到特征線并給出車流密度函數(shù)及其圖像，建立基于路段車輛通行的連續(xù)交通流模型，在此基礎(chǔ)上推廣得到基于交叉路口通行規(guī)則的間斷交通流模型；最后選取高要廣塘小區(qū)某一路段代入模型求解，并對(duì)連續(xù)交通流模型進(jìn)行靈敏度分析。

微分方程 連續(xù)交通流 間斷交通流模型

1 研究背景

隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，城市規(guī)模的不斷壯大，人口和汽車數(shù)量也日益增多，而城市空間和道路資源有限，致使城市交通問題日益突出。從2016年初國(guó)務(wù)院提出關(guān)于街區(qū)制小區(qū)和單位大院開放的意見以來，城市規(guī)劃和交通管理部門就小區(qū)開放對(duì)周邊道路通行的影響進(jìn)行了研究。

2 問題分析

考慮到反映車輛通行狀況的指標(biāo)眾多，我們選取其中的車流量作為研究對(duì)象，使用模擬近似法建立計(jì)算道路各點(diǎn)交通流的微分方程模型。通過查閱相關(guān)文獻(xiàn)[1]，我們從高速公路上的基本交通流出發(fā)，引入車流量、車流密度、車速關(guān)于時(shí)間的三個(gè)函數(shù)來描述車流，并逐步得到連續(xù)交通流狀態(tài)下以及間斷交通流狀態(tài)下的車流量微分方程，用以研究小區(qū)開放對(duì)周邊道路車輛通行的影響。

3 交通流模型的建立

3.1 理想狀態(tài)下的模型準(zhǔn)備

我們首先考慮理想狀態(tài)下高速公路上的交通流狀況，此處假設(shè)理想狀態(tài)為所有車輛沿同一方向的一條無窮長(zhǎng)的單車道行駛，沿途沒有岔路口以及其他出入口，且在單車道內(nèi)不允許超車。

在直角坐標(biāo)系中，以 軸表示公路，軸正向?yàn)檐囕v運(yùn)行方向，針對(duì)每一時(shí)刻以及道路每一點(diǎn) ，引入以下三個(gè)函數(shù)來描述車流狀況。

(1)車流量q關(guān)于時(shí)間K(x,t)t、道路點(diǎn)的函數(shù)q(x,t)，表示時(shí)刻單位時(shí)間內(nèi)通過點(diǎn)x的車輛數(shù)。

(2)車流密度函數(shù)，表示t時(shí)刻點(diǎn)x處單位長(zhǎng)度內(nèi)通過的車輛數(shù)。

(3)車速函數(shù)V(x,t)，表示t時(shí)刻通過點(diǎn) 的車流速度。

易知以上三個(gè)函數(shù)之間存在密切關(guān)系，也就是單位時(shí)間內(nèi)通過點(diǎn) 處的車輛數(shù)等于車流速度與單位長(zhǎng)度內(nèi)車輛數(shù)的乘積。即

為了便于觀察研究公路交通流的規(guī)律，我們作出如下假設(shè)：

(1)假設(shè)車速僅和車流密度有關(guān)，即V=V(K)，且隨著車流密度的增加，車速減慢，從而有V'(P)=dv/dp≤0。

(2)假設(shè)當(dāng)?shù)缆飞宪囕v很少時(shí)，行車可以最大速度行駛，即存在臨界車流密度pc，使得。

(3)假設(shè)當(dāng)交通擁擠甚至發(fā)生堵塞時(shí)的車流密度為pmax，此時(shí)汽車幾乎停止不動(dòng)，有可能發(fā)生碰撞。即V(pmax)=0，且，l是汽車的平均長(zhǎng)度。

圖1 車流量關(guān)于車流密度的函數(shù)圖像

3.2 基于非路口路段處連續(xù)交通流模型的建立

3.2.1 基本模型建立

為了描述交通流關(guān)于時(shí)間的動(dòng)態(tài)情況，進(jìn)一步研究q、p、v之間的關(guān)系，我們假設(shè)車流量函數(shù)q(x,t)、車流密度函數(shù)p(x,t)、車速函數(shù)v(x,t)關(guān)于x、t是連續(xù)可微的，可通過建立微分方程來描述交通流狀況。

考慮任意時(shí)刻，單位時(shí)間內(nèi)通過道路點(diǎn)a、b的車流量分別為q(a,t)和q(b,t)，即在x軸上任意區(qū)間[a,b]內(nèi)通過的車輛數(shù)為，其單位時(shí)間內(nèi)變化率為：

假設(shè)公路沒有岔路口，故單位時(shí)間內(nèi)任意區(qū)間[a,b]通過的車輛數(shù)守恒，于是我們建立如下的車輛守恒方程：

根據(jù)q(x,t)和p(x,t)的解析關(guān)系，我們對(duì)公式(6)進(jìn)行如下變換：

假設(shè)f(x)為初始車流密度，于是根據(jù)公式(8)，可以將連續(xù)交通流方程化為：

上述方程描述了任意時(shí)刻公路上各處的車流分布狀況，可根據(jù)車流量關(guān)于車流密度的函數(shù)得知任意時(shí)刻的車流量。

3.2.2 模型的進(jìn)一步分析與完善

設(shè)道路點(diǎn)x是關(guān)于時(shí)刻t的函數(shù)x(t)，利用求解擬線性偏微分方程的相關(guān)方法求得公式(4)在t=0時(shí)的解如下：

公式(6)有明顯的幾何意義，其中第二個(gè)表達(dá)式在x-t坐標(biāo)系中表示一簇直線，斜率，與x軸的交點(diǎn)為x0。若函數(shù)給定，則k隨x0的變化而變化，這一簇直線稱為方程(4)的特征線。而公式(6)中的第一個(gè)表達(dá)式表明在給定特征線下，車流密度為常數(shù)。

從公式5、公式6的形式上來看，只要q(p)和f(x)已知，公式(5)的解即為公式(6)。但若對(duì)公式(6)的特征線進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)只有當(dāng)車流密度函數(shù)f(x)為減函數(shù)時(shí)，才能使得以上結(jié)論成立。因?yàn)楫?dāng)f(x)為減函數(shù)時(shí)，沿車輛行駛方向的車流密度不斷減小，車輛可以加速行駛，即此時(shí)的交通流是連續(xù)的。而當(dāng)f(x)為增函數(shù)時(shí)，則會(huì)發(fā)生交通堵塞，車輛行駛速度則為出現(xiàn)由快變慢的突變過程，從而導(dǎo)致車流密度函數(shù)p(x,t)和車流量函數(shù)q(x,t)出現(xiàn)間斷的情況，因此公式(5)就不適用于反映此時(shí)的交通流狀況，需要尋找其他方法進(jìn)行描述。

3.3 基于交叉路口間斷交通流模型的建立

由2.1可知，當(dāng)f(x)為減函數(shù)時(shí)，車流密度函數(shù)p(x,t)和車流量函數(shù)q(x,t)會(huì)出現(xiàn)間斷的情況。假定在任意時(shí)刻t，車流密度在x軸區(qū)間[a,b]上的間斷點(diǎn)x=xd(t)(a

則車流密度p和車流量q在間斷點(diǎn)xd處的跳躍值記為：

4 交通流微分方程的求解

為進(jìn)一步分析上述模型，我們選取連續(xù)交通流狀態(tài)作為研究對(duì)象。

(2)根據(jù)公式4可知，對(duì)q(p)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，得到

式中，x0為初始點(diǎn)，l為路段長(zhǎng)度。

(4)將公式9、10代入公式5中的x(t)函數(shù)，得到：

圖2 不同x-t取值下的特征線圖

通過觀察圖2，發(fā)現(xiàn)不同初始點(diǎn)取值下的特征線不相重合，且車流密度也不同，具體的初始點(diǎn)取值及其對(duì)應(yīng)車流密度如表1所示。

表1 不同初始點(diǎn)取值及其對(duì)應(yīng)車流密度

圖3 車流密度關(guān)于車輛位置、時(shí)間的主視圖

圖4 車流密度關(guān)于車輛位置、時(shí)間的斜視圖

通過觀察圖3和圖4，我們發(fā)現(xiàn)車流密度以及車流量關(guān)于觀測(cè)點(diǎn)與路段起點(diǎn)距離、時(shí)間的三維立體圖都是由眾多線段構(gòu)成，這些線段投影到x-t平面上即為各條特征線。且在同一特征線上的車流密度以及車流量相同，也就是說這些線段皆是與x-t平面平行的線段。

5 靈敏度分析

我們采用靈敏度分析檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷姆€(wěn)定性，即通過改變部分參數(shù)的值，研究對(duì)道路車流量的影響。

(2)改變路段長(zhǎng)度，分別取0.8km、0.9km、1.0km，得到其他參數(shù)不變只有l(wèi)改變情況下的車流量變化圖，如圖6所示。

圖5 Vmax改變對(duì)車流量影響的靈敏度分析

圖6 l改變對(duì)車流量影響的靈敏度分析

6 結(jié)果分析

通過代入?yún)?shù)計(jì)算理論車流量，與肇慶高要廣塘小區(qū)附近路段車流量實(shí)際統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)相對(duì)誤差均在以下，充分說明了所建模型的準(zhǔn)確性與合理性。本模型可應(yīng)用于任意實(shí)際小區(qū)抽象簡(jiǎn)化出的二維道路交通流模型，通過開放前后對(duì)進(jìn)出小區(qū)的干道交通影響的比較，能夠較為準(zhǔn)確地反映該小區(qū)是否適合開放。

[1] 施曉青.微分方程模型在交通領(lǐng)域的應(yīng)用[J].交通科技,2006 (6).

[2] 郭躍華,陸志峰,王建宏.城市交叉路口汽車通行模型[J].科學(xué)與工程,2010(20).

F069

A

2096-0298(2016)10(c)-150-03