讓學生積極有序有效互動
——“平面向量數量積復習課”教學實錄與感悟

☉浙江省溫州市第二高級中學 林榮

☉新疆阿克蘇拜城縣教育局教研室唐勝忠

讓學生積極有序有效互動
——“平面向量數量積復習課”教學實錄與感悟

☉浙江省溫州市第二高級中學 林榮

☉新疆阿克蘇拜城縣教育局教研室唐勝忠

本復習課是一節交流研討公開課，是在高一學生剛學了平面向量這一章節知識后所做的歸納總結.本節課定位于平面向量數量積的運算，通過前期的學習，學生已經對平面向量的知識有了較為全面的認識和了解，對幾何問題代數化有初步的認識.此時若能根據學生的知識基礎和能力基礎設計適當的復習課引導學生在教材的基礎上作進一步的探究學習，對訓練學生的思維與探究能力將有很大的幫助.本著“學生參與，積極互動”的教學理念，筆者采用了以“問題變式引導、師生對話交流”為主線的教學模式，通過組織師生互動，較好地完成了教學任務.現將本節課向大家匯報，并談談筆者的感悟與反思，與大家交流.

一、圖形引入，概念復習

師：今天老師先畫一個圖形給大家（圖1）（教師在黑板上畫出一個直角三角形），現在請大家算一算數量積

圖1

（出示問題1，以便應用.）

問題1：如圖1，已知在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，求—的值.

師：這道題目已經知道AB的長度，所以我們很快可以知道數量積等于9.（學生呼應）

師：老師現在保持角A的度數（直角）不變，拖動點C（在幾何畫板中拖動點C，使點C在AC延長線方向上托動），這時方向上的投影有沒有發生改變？

生（部分）：投影沒有發生改變.

師：是的，投影沒有改變，因此—的數量積就是模的平方.（這里筆者想讓學生從動態上更加深刻地認識到數量積的幾何意義，因此特意著重強調）

師：好，老師剛才是把C點往下拖，如果現在把C點往右拖（沿BC延長線方向），你們再來試試看該如何求？（出示問題2）

二、簡單變式，一題多解

圖2

全班同學開始安靜思考，教師提示學生可以主動到黑板上寫出解題過程.過了一會兒，生2主動到黑板上寫下他的解題過程.

師：你來說說看，你剛才是怎么想的？

師：還有沒有別的方法嗎？（筆者是想嘗試讓學生用數量積的幾何意義，直接用投影的方法解決此問題）

生3直接到黑板寫下自己的板書.而方法卻不是直接用數量積的幾何意義.

師：你給大家講講你的想法吧.

生3：我想到了老師有一次上課時講過這樣的一種計算方法，就是在三角形中，兩邊向量的數量積可以用中線長的平方減去第三邊一半的平方，這里正好有一個直角三角形，就可以利用勾股定理轉化到邊BA上了.

師：很好，說明這位同學能深入思考，很好地利用了轉化思想，其實他用的就是我們以前說過的極化恒等式，我們為他鼓鼓掌.（眾生鼓掌）

師：還有別的方法嗎？

生4：建系，他們都用基底，我想用建系的方法.生4在黑板上重新畫了一個圖，把原來的圖形倒了過來，如圖3.

生4：以A為坐標原點，AB，AC分別為x軸，y軸建立直角坐標系，這樣點的坐標就是B（3，0），C（0，b），E（-3，2b），因此

圖3

（眾學生又同時響起了掌聲）

師：所以生4也看到了直角在這里，他把這個三角形倒過來，這樣建系就非常的容易.所以我們在求數量積的時候可以用定義法，也可以用建系的方法，因為用坐標法解決幾何問題就好比給人力三輪車裝了發動機一樣，輕快省力.

（此時筆者在課前預想讓學生直接用數量積的幾何意義的方法還是沒有同學提出來.由于講得過于興奮，竟然忘了想講的這種方法，而直接去探究下一內容）

師：剛才老師拖動的是C點，大家覺得還可以拖動哪一點？

生：還可以沿AB方向拖動B點.

師：嗯，可以，但拖動B點，這個直角還是在的.（此時筆者故作玄乎）老師想拖個非直角的出來.

生：那可以拖動A點.

師：好的，那就拖動A點.（在圖2中拖動點A后筆者又給出來了問題3）

三、由銳變鈍，強調運算

師：大家再來試試看.

圖4

（過了一會兒，筆者請一位同學上講臺板演）

師：好，剛才生5還有點不敢上來，在老師的鼓勵之下，她勇敢地上來了.（眾學生咪笑）那現在想問問她的想法.

師：嗯，那你是想用基底轉化，你選的基底到底是哪兩個？

生5：因為它們的長度和夾角都是已知的.

師：好的，這樣繼續下去就可以了，但我們最好能夠先把式子化簡以后再代入計算比較好.我們可以利用三角形法則或平行四邊形法則，把

生5：哦，我還要把它轉化為直接用基底向量來表示.

師：請問大家還有沒有別的方法嗎？

生6：也可以用建系的方法.

（生6上講臺畫了一個以E為坐標原點，BE為x軸，過點E的垂線為y軸的直角坐標系，然后講解了各點坐標的求法）

師：大家建系的方法都是這樣嗎？

生7：我是以B為原點的.

師：嗯，大家的原點選取可能不同，但x軸選的都是BE吧.最后算出來的答案是-，還沒有算對的同學課后再去算一遍.

師：剛才我們拖動點把圖形變了變，但我們還不甘心，還想再拖動拖動.

（筆者試著在圖4的圖形中拖動點D和點C）

師：剛才在拖動的過程中，有一個交點，即直線BD和AC的交點，所以老師現在的注意力在交點上.

（筆者隱去一些輔助線，給出問題4）

圖5

四、回歸應用，自然生成

問題4：如圖5，在△ABE中，BE= 2，EA=4，O是△ABE的外心，

師：好，這題由誰來解決呢？

（學生思考一段時間后，生8上講臺寫下了自己的解題過程.）

師：請生8來解釋一下.

生8：因為點O是△ABE的外心，即是三角形邊中垂線的交點，所以也就等于方向上的投影是也是這樣求的.

師：很好，既然你這樣可以投影，那我們剛才在算問題2的時候可以嗎？（故作疑問，這時筆者已經想起在講問題2的時候沒有用數量積的幾何意義來解題）

生9：也可以的.（迫不及待）師：那好的，生9，你上來講給大家聽聽.

（生9上黑板在圖2上添加了輔助線，畫了圖6）

師：那哪一個是投影？

生9：AF是投影.

師：投影是一個數還是向量？

（這時，下面的學生有回答是向量的.生9剛開始也認為是向量，但馬上反應過來，投影應該是一個數）

師：那投影是一個正數還是負數？

生：看它們的角，兩個向量的夾角是一個鈍角，所以應該是一個負數？

圖6

一個負數.

（終于把該講的內容補齊，筆者很開心.據課后與聽課老師交流，他們以為這里是筆者故意這樣處理的，真是無心插柳柳成蔭）

師：好的，我們現在再回到剛才的問題4，原來的條件都不變，老師現在再追問一個問題.追問：若∠AEB=120°

圖7

一番巡視之后，筆者又請生10上黑板板演，生10上黑板后建立了一個直角坐標系，如圖7.因為該生是用建系的方法，但一時坐標算不出.

師：建立直角坐標系以后你準備怎么算呢？

生10：點A和點B的坐標是好求的，但點O的橫坐標好求，縱坐標好像有點難求.

師：嗯，那點O的橫坐標你是如何求的？

生10：是-1，跟BE的中點橫坐標是一樣的.

師：嗯，那大家覺得縱坐標如何來求呢？

生（部分）：可以列方程去解.

師：很好，可以列哪個方程來解？

生11：還是要利用外心的定義，可以利用OA=OE這個方程來解.

師：嗯，坐標有了以后，問題就轉化為關于λ1與λ2的二元一次方程組的問題，請未完成的同學課后再去計算.請問不建系如何解決？

（這時生12主動提出他可以解決，這時筆者讓生12上講臺板演）

師：生12非常好地解決了問題，用到了數量積的運算，老師在追問中給出∠AEB的大小，同學們能想想為什么嗎？

生13：這樣其實就是確定了向量的基底，能用基底算具體值了.

師：很好，數量積這一運算工具就能很好地利用起來了.

師：通過這節課，老師希望同學們對向量數量積的運算有進一步的認識提升，也能對學習數學知識產生更濃厚的興趣，做好這個思維體操.下面老師把這節課總結了十六個字送給大家，“想想定義，看看投影，換換基底，算算坐標”，也即“想看換算”.

（這時鈴聲響了）

五、感悟與反思

本節課筆者在課前利用幾何畫板精心制作了課件，特別是問題之間的銜接.各問題之間都是用幾何畫板對圖形進行變換得出，使問題的生成更加的自然，也讓學生感受從簡單到復雜的過程.

筆者認為，一節課應是在教師的預先設計下，在師生和生生的合作、對話、碰撞中來完成.教師應順其自然，讓學生發表自己的意見，才能使課堂更加和諧，學生的參與熱情也會更高.教師教學時要敢于放手，給學生更多時間思考和討論，以此來完成任務，這樣才能培養學生的創新精神和創造能力，以體現課堂的民主性和平等性.

復習課中，如何減輕學生的負擔，提高復習效率，真正做到輕負高質呢？最重要的一個方面是教師自己要加強解題研究，課堂上要善于一題多變、一題多解、多題歸一，這樣可以激發學生的興趣，激活學生的思維，提升學生的能力.其次，復習時應突出知識間的相互聯系，使知識條理化、系統化，從而完善學生的認知結構.

1.中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）［M］.北京：人民教育出版社，2012.

2.余繼光.數學問題串的結構與設計策略［J］.中國數學教育（高中版），2012（1-2）.

3.李維堅.動態課堂中教與學的平衡［J］.中學數學（上），2016（1）.F