由此及彼談圓錐曲線問題求解思路的生成

☉江蘇省平潮高級中學 王小冬

由此及彼談圓錐曲線問題求解思路的生成

☉江蘇省平潮高級中學 王小冬

圓錐曲線因綜合性強、計算量大等特點，成為學生學習難點之一.從近年高考閱卷情況來看，得分率也確實不盡人意，滿分者寥寥無幾.此類問題是否真的是學生無法跨越的鴻溝嗎？其實不然，只要我們具有扎實的基礎知識、系統的知識網絡，仍然可以順利找到問題的切入點.下面舉例說明.

一、引例說明

題目（2016年山東卷理）在平面直角坐標系xOy中，橢圓C=1（a＞b＞0）的離心率是，拋物線E：x2=2y的焦點F是C的一個頂點.

圖1

（1）求橢圓C的方程.

（2）設P是E上的動點，且位于第一象限，E在點P處的切線l與C交于不同的兩點A，B，線段AB的中點為D.直線OD與過點P且垂直于x軸的直線交于點M.

①求證：點M在定直線上；

②直線l與y軸交于點G，記△PFG的面積為S1，△PDM的面積為S，求的最大值及取得最大值時點P2的坐標.

本題是橢圓與拋物線交匯問題，第（1）問較為基礎，利用拋物線方程求出其焦點坐標的縱坐標，即為b值，再利用離心率的定義及a，b，c之間的關系求出a值即可.下面對第（2）問的解題思路進行探究.

二、思路探究

第（2）問的解答須做好如下幾個問題的探究.

問題1：與曲線切線有關的問題我們會想到什么？

我們知道導數的幾何意義：函數在某一點的導數值即為在該切線的斜率.因此遇到與曲線切線有關的問題可借助導數法求出切線的斜率，從而表示出切線方程.

問題2：切線l與橢圓有兩個不同交點，此類問題如何處理？

常規處理辦法是將直線方程與橢圓方程聯立，代入消元，得含x或y的一元二次方程，再利用判別式法、根與系數的關系，整體表示，設而不求.

問題3：如何確定點M在某一定直線上？

點M是直線l與直線PM的交點，應先將兩條直線方程表示出來，求出交點坐標，結合xM，yM所滿足的關系來判斷點M是否在某條定直線上.

問題4：欲求兩個三角形的面積比，首先要表示出兩個三角形的面積關系式，那么三角形的面積如何表示，用什么表示？

結合兩個三角形的特點，即均有一條平行于y軸的邊，故三角形的底邊直接由底邊上兩端點縱坐標之差來表示，三角形的高利用頂點橫坐標的相關式子表示.進而將問題轉化為函數最值問題處理，再借助配方法、均值不等式法、三角換元、導數法等求解.

從上述分析來看，只要我們具有扎實的基礎，思路自然、前后貫通.接下來的解答就順理成章了.

三、問題解答

（1）易求橢圓C的方程為x2+4y2=1.

（2）①由已知條件不難看出問題求解的關鍵是點P，因此，首先設出點P的坐標，因為點P在拋物線上，且在第一象限，故可設P（若拋物線方程為y2= 2px，則應設點P的坐標為，可簡化計算）借助導數的幾何意義求切線方程.由于x2=2y可得y=

接下來的問題就轉化為我們熟悉的類型，即直線與

橢圓相交問題，借助坐標法、代入消元法、判別式法、根與系數的關系等通法求解.

設A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），則由直線方程與橢圓方程聯立可得（1+4m2）x2-4m3x+m4-1=0.

由Δ=16m6-4（4m2+1）（m4-1）=-4（m4-4m2-1）＞0，可得

從而x0

四、變式演練

（1）求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長（用a，k表示）；

（2）若任意以點A（0，1）為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點，求橢圓離心率e的取值范圍.

分析：本題第（2）問求解的關鍵是求出a的取值范圍.可先假設圓與橢圓有4個公共點，再利用|AP|=|AQ|表示出弦長，求出a的取值范圍，進而求出橢圓離心率e的取值范圍.

（2）假設以點A（0，1）為圓心的圓與橢圓C有4個公共點，由對稱性可設y軸左側的橢圓上有兩個不同的點P，Q，滿足|AP|=|AQ|.

設直線AP，AQ的斜率分別為k1，k2，且k1＞0，k2＞0， k1≠k2，由（1）可知，|AP|=，整理可得，可得

上式關于k1，k2的方程有解的充要條件是1+a（2a2-2）＞1，所以a2＞2，即a＞.從而任意以點A（0，1）為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點的充要條件是1＜a≤

五、解后反思

圓錐曲線綜合問題的常見題型一般表現在定量問題、最值或取值范圍問題及探索性等.定量問題主要是指定點、定值或定直線等，此類問題的一般求解策略：引入參數直接求定點、定值.從特殊到一般，先探究后證明.最值問題主要包括與弦長、面積有關的最值或取值范圍問題，求解策略：根據題意建立目標函數，再利用換元法、配方法、均值不等式法、導數法等確定目標函數的最值或取值范圍.

總之，欲做好圓錐曲線問題的解答，在平時課堂教學活動中，教師在引導學生注重掌握重點題的通性通法的同時，注重函數與方程、數形結合、分類討論、化歸與轉化等重要數學思想方法的運用，結合相關的運算技巧以減少運算量，重視與提倡一題多解的訓練，進而提升學生的解題能力.F