去偽存真，探求問題本質

江蘇省蘇州工業園區東沙湖學校(2151021)

張 超●

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去偽存真，探求問題本質

——三角形中線等分面積問題的教學思考

江蘇省蘇州工業園區東沙湖學校(2151021)

張 超●

三角形中線等分面積是義務教育教科書(蘇科版)七年級下冊數學-認識三角形專題中重要問題，它既是對三角形三邊，三線(中線，角平分線，高線)關系的應用，同時也為后續三角形全等，相似等知識作鋪墊.筆者在此以練習課的一道習題為例，通過兩次解題教學的研究，談談自己在實踐中一些體會與思考.

一、習題呈現

如圖1，已知△ABC，D,E,F分別是BC,AD和EC的中點，△ABC的面積為16，求△BEF的面積.

二、第一次教學

1.看似很簡單，學生為什么不會做

2.反思失敗之因

問題根源:學生沒有領悟中線等分面積問題的實質，三角形的中線為何能等分面積？多數同學無法從復雜的圖形中分離出簡單圖形的模型.七年級下學期，剛剛涉及到幾何，大多數學生對于幾何圖形的辨析能力比較薄弱.在第一次教學中，學生缺乏理解與參與思考的立足點，整個教學過程是老師領著學生的思維在走，學生并沒能形成有效的啟發與思考，因而不能形成有效的教學.

三、第二次教學

3.1 教學更注重從形式到思想的點撥

提問1 從三角形的面積公式入手(學生容易得出三角形的面積大小是通過底和高這兩個量決定的，為下面研究中線等分面積作鋪墊)

提問2 如圖3，△ABD與△ABC面積有怎樣的聯系？取AD中點E，如何比較S△BED與S△CED的大小，并說明它們與S△ABC有怎樣的關系？(說明中線等分面積的實質)

提問3 在圖4中，進一步，取EC中點F，連接BF探求S△EBD與S△ABC的關系(通過圖形分離，層層推進，訓練他們幾何的邏輯思維)

3.2 進一步探究

如圖5,△ABC的面積為S, D,E分別是BC,AC中點，連接AD,BE相交于點O,試比較的S△ABO與S四邊形ODEC的大小.

解法點撥 仍從兩條中線AD,BE入手，由這兩條中線可以得到哪些三角形的面積？學生經過思考后得知, S△ABOS四邊形ODEC與S△ABC并無明顯數量關系，無法直接求解.但它們都可作為是△ABD與△BEC的一部分，引導學生從“整體”中分離出“部分”，進而求解.

3.3題型拓展

在上題的基礎上，再取AB的中點F,連接FC如圖6所示.(1)比較S△OFB與S△OEC的大小.(2)你還能在圖中找出哪些三角形面積相等.

解析點撥 (1)有了上題從“整體”到部分的經驗，學生很快得出S△OFB=S△OEC.對于問題(2)，學生們能列舉出S△OFA=S△OFB,S△OAE=S△OBC，S△OBD=S△ODC，進一步得出S△OFA=S△ODC,S△OEA=S△OBD……細心觀察的同學不難發現，△ABC三條中線把三角形分成的六個小部分的面積都相等.

3.4模型應用

如圖7，△ABC中，D,E,F分別是CE，AF與BD的中點，已知△DEF的面積為1，求△ABC的面積.

解法分析 此題難點在于由題中三個中點，在△ABC中無法找到相應的中線，無從尋求△DEF與△ABC的面積關系.如何讓D,E,F轉化為相對應的中線是關鍵，連接AD,BE,CF使其轉化成三角形的中線，添加輔助線構造三個三角形.

由圖8所示，學生們很快能夠表示出S△ABF,S△DBC,S△AEC,從而求出S△ABC.

從復雜圖形中分離出簡單模型，從“整體”到“部分”對研究對象求解，學生理解更為流暢自然.此時，他們不僅收獲了這一類題的通法內涵，更為重要的是他們在思想層面上的領悟以及帶來的自信與快樂，這是彌足珍貴的.從師生再到生生之間的交流，課堂中的靈動表現產生彼此信任不正是為師者不懈追求嗎？

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