初中函數教學“三部曲”

王鸞

[摘 要]函數教學之難，難于概念的理解，難于性質的掌握，難于實際問題的解決.本文以生活實例厘清概念、以數形結合掌握性質、以數學模型解決問題等方面提出初中函數教學的有效策略.

[關鍵詞]函數教學 概念 數形結合 函數模型

[中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]A[文章編號] 16746058（2016）260008

函數內容抽象難懂，沒有固定的方法解題.初中生脫離具體對象進行分析，考慮問題時往往割裂了數形之間的聯系，不能理解函數與方程之間的內在聯系，不能建構函數模型解決實際生活中的問題.

一、引入生活實例，感受函數概念的形成過程

學生往往受負遷移的干擾，憑借自身的“經驗”下結論，對函數的概念理解出現偏差.抽象的函數概念依附于具體的生活實例，教師要遵循學生的認知規律，從具體到抽象，從表象到規定，引領學生從生活經驗入手，感知生活世界事物間存在的關系.教師要引導學生關注生活中的函數，以函數去解決實際問題，從而激發興趣，開啟思維，逐漸實現從感性的生活經驗走向理性的數學思想.如在“一次函數”教學中，教者呈現問題：“小華暑假期間去上海旅游，汽車行駛上高速公路后平均速度為100千米/小時，已知徐州到上海的高速公路全程為590千米，小華想知道汽車從徐州出發后，距上海的路程與汽車在高速公路上行駛的時間有什么關系.”學生通過閱讀、畫示意圖、分析，得到汽車距上海的路程（s）=徐州到上海的距離（590）-汽車行駛的路程（100t），即s=590-100t.從而運用自變量表示的函數關系引出一次函數的概念.

數學源于生活，生活中有很多學生熟知的實例便于學生理解函數關系.如用“西瓜的單價一定，買西瓜的斤數與支付的錢之間的關系”引出正比例函數.“將一張面值100元的人民幣換成50元的人民幣，可得幾張？如果換成面值20元的，可得幾張？如果換成10元的呢？所換成的面值x元與張數y之間的函數關系”引出反比例函數.“某商店4月份的利潤是3萬元，5、6月份利潤逐月增長，6月份的利潤與這兩個月利潤的月平均增率x之間的函數關系”引出二次函數.學生看待問題的角度也不盡相同，教師要留有讓學生討論交流的機會，讓他們逐漸靠近概念理解本質.

二、注重數形結合，依據圖像分析函數的基本性質

“數無形時少直覺，形無數時難入微.”函數解析式表示兩個變量間的對應關系，而圖像描述變量與函數值間的變量關系反映函數的變化規律.將數的精準與形的巧妙結合起來，引導學生挖掘其內在的幾何意義，運用數學的視角發現問題，能由數思形、見形思數，提高數形轉化的能力.

如“一次函數的圖像”一課的難點是“一次函數的圖像與性質”.教者讓學生繪制y=2x、y=2x+4、y=x-2、y=-x+1、y=-1/2x、y=-3/2x-3的圖像，觀察這些圖像，發現有何特點？這些圖像分別經過哪些象限？有什么共同的地方？與哪些量有關？學生通過觀察、對比、討論，歸納出函數中y=kx+b中k、b的值對圖像經過象限的影響，當k>0時，函數圖像經過一、三象限；當k<0時，函數圖像經過二、四象限；b>0時，函數圖像經過一、二象限；b<0時，函數圖像經過三、四象限.教者將函數y=2x、y=2x+4的圖像進行對比，學生會發現兩條直線互相平行，從而猜想當k值相等時，兩個一次函數的圖像是相互平行的兩條直線.

又如在“二次函數的圖像和性質（1）”教學中，學生通過列表、描點、連線畫出二次函數y=x2的圖像，學生在觀察圖像的基礎上，提出問題：“你能描述圖像的形狀嗎？圖像是軸對稱圖形嗎？如果是，對稱軸是什么？嘗試找幾對對稱點.圖像與x軸有交點嗎？如果有，交點是什么？當x<0時，隨著x的增大，y隨x如何變化？當x為何值時，y值最小？最小值是多少？”教師在教學中并不生硬地“灌輸”結論，而是讓學生運用右腦構造圖像，在理解的基礎上掌握二次函數的圖像特征.

三、借助數學模型，解決生活實際問題

一次函數、反比例函數、二次函數與現實世界緊密相連，在實際生活中有著廣泛的應用.教師要引導學生將實際問題轉化為數學問題，抽象成數學模型，經過推理分析求解，然后再還原為實際問題的解.如某服裝賣場銷售一批品牌褲子，平均每天可售出20件，每件可盈利40元，為擴大銷售，減少庫存，增加盈利，賣場決定采取適當的降價措施，通過調查，如每件褲子每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若賣場平均每天要盈利1200元，每件褲子應降價多少元？（2）每件褲子降低多少元時，賣場平均每天盈利最多？

在此題中，學生可以設每件褲子應降價x元，那么每件售價為（40-x）元，可以銷售（20+2x）件，由此可以列出方程（40-x）（20+2x）=1200解決第（1）個問題，求得兩個根x1=20，x2=10.為盡可能“減少庫存”，就須“降”的多，因而取x=20.在第（2）題中，每天贏利y=（40-x）（20+2x）=-2x2+60x+800，當x=15時，有最大值.學生通過求二次函數最值解決實際問題中的最大利潤問題，體會二次函數是最優化問題的數學模型之一，感受其應用價值.

（責任編輯 黃桂堅）