問 題 1830 的 研 究

青海師范大學教育碩士 (225700)

朱云燕

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問 題 1830 的 研 究

青海師范大學教育碩士 (225700)

朱云燕

1.問題的提出

《數學通報》問題1830：

命題人刊登的解答曲折繁復，與問題簡單優美的形式頗不相配，下面我們將給出此題的簡證，并從其等價形式出發進行深入研究．

2.問題的別證與推廣

下面我們將(2)推廣為：

推廣 a,b,c∈R+，且a+b+c=s．則有

事實上，(3)?2(a+b+c)(a2+b2+c2)+9abc≥(a+b+c)3?a3+b3+c3+3abc≥a2b+b2c+c2b+b2c+c2a+a2c，將Schur不等式a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a(c-b)≥0展開即得a3+b3+c3+3abc≥a2b+b2c+c2b+b2c+c2a+a2c，故不等式(3)成立．

在(3)中取s=2即得(2)．

3.問題的類似聯想

我們先給出與不等式(3)結構相似的一個反向不等式：

聯想1 a,b,c∈R+，且a+b+c=s．則有

我們再給出與不等式(3)形似的一個同向不等式：

聯想2 a,b,c∈R+，且a+b+c=s．則有

4.問題的深入研究

在a,b,c∈R+，且a+b+c=s的條件下，下面我們進一步考慮a2+b2+c2+λabc(λ∈R)的取值范圍．

因為a→s,b=c→0時，a2+b2+c2+λabc→s2，故上界s2是最佳的，不可改進．