二元函數最值問題的常用策略

浙江省寧波市第二中學 (315010)

孫 鋆

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二元函數最值問題的常用策略

浙江省寧波市第二中學 (315010)

孫 鋆

形如z=f(x,y)含有兩個自變量的函數我們稱為二元函數，其最值問題常常是高中函數問題中的熱點和難點問題,而這類方法有時常常根植于解析幾何、向量等諸多高中數學重要知識，同時考查轉化化歸、分類討論等數學思想.根據自變量x,y的關系二元函數主要可以分為兩種基本類型，其一是x,y之間沒有聯系，其二是x,y之間存在聯系，這種聯系常表現為方程或不等式(組)關系.求解二元函數最值核心思想是化二元函數為一元函數即將復雜陌生問題化歸為簡單熟悉的函數模型，當然利用柯西不等式可以直接處理二元最值問題.以下我們談談求解二元函數最值問題的常用策略和方法.

1.基本不等式法

例1 已知x,y>0且x+4y+xy=5，求x+4y的最小值

例2 若x,y>0且x+3y=5xy，求3x+4y的最小值.

評注:利用基本不等式求二元最值注意”一正二定三相等”,即不等式運用的前提是正數,構造定值和取等號的條件.學生常常忽略等號成立的條件產生誤解(特別利用多次不等關系),此時往往需要轉為相關函數模型的單調性加以解決.同時更要善于尋找目標和條件間的關系,熟悉湊配和1的代換等技巧.

2.消元法

事實上如上的例1和例2都可用消元法加以求解.不妨以例2加以說明.

評注:用條件加以消元從而把二元函數一元化,在利用基本不等式或函數的單調性求最值,值得指出的是要關注函數的定義域,示例中即由x>0及y>0求出變量x的范圍,學生常常會忽略變量y對x的限制作用而導致定義域范圍擴大.

3.整體代入法

評注:利用已知條件加以消元有時函數模型較難解決，遇到了“疑無路”；充分認識代數式的結構特點而采用整體代入的方法往往可以“又一村”.

4.換元法

4.1 分式齊次換元

例4 若實數x,y滿足x2-xy+y2=1，求x2+2y2的最小值.

評注:利用1的代換構造分式齊次函數是一類常見的函數模型,通過換元劃歸為一元分式函數,其核心需要熟練掌握二次分式函數中的最值模型.

4.2 三角換元

例5 設x,y∈R,且2x2+2xy+y2=2,求2x+y的最值.

例6 (2015,浙江學業考試選擇題25)若實數數列{an}(n∈N*)是等差數列,且a1+a2=1,則a2+a3的取值范圍是( ).

評注:要善于發現平方和的結構特點，如2x2+2xy+y2=2，a21+a22=1等，靈活運用三角換元使二元函數一元化，最后化歸為三角函數模型求解最值.這類問題有時也可以用判別式法加以求解如例5,但是對于例6卻無能為力.

5.幾何法

5.1 線性規劃法

評注:變量x,y間的關系由不等式組給出往往可以轉化為可行域,關鍵尋找目標函數的幾何意義,常見的如截距與斜率等,為了增加目標函數的難度,有時候目標函數并不一定就是斜率而是轉化為斜率k的函數即f(k).

5.2 構造法

評注:當代數方法較難解決時常常抓住結構特點構造函數的幾何意義,利用幾何性質或解析法求解問題.由此必須熟悉兩點距離,點線距離等結構,適時轉化為幾何問題.

6 直接法

評注:當兩變量x,y沒有相互限制時往往可以考慮直接法,其策略是先看成某一變量的函數如z=f(x,y)=F(x),然后再看作另一變量如y的函數.由此必須熟悉常見的求函數最值的方法靈活選擇運用.

[1]孫鋆.唇亡齒寒兩相依，變量關系要明晰[J].中學數學，2010,5.