利用定積分證明不等式三例

安徽省懷寧中學 (246121)

鮑翊虎

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利用定積分證明不等式三例

安徽省懷寧中學 (246121)

鮑翊虎

新課程改革中，高中數(shù)學以選修方式教學了定積分，本文選用三道不等式證明類型的試題，借助定積分加以解決，旨在提升學生應用知識的能力，從而深化對定積分的理解！

一、利用定積分實現(xiàn)不等式的數(shù)形結合

(1)用a表示出b，c；

(2)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立，求a的取值范圍；

圖1

根據(jù)①和②可知，不等式對任何的n∈N*都成立.

點評：在本題的教學中，利用構造函數(shù)證明(3)時，技巧性太強，雖然體現(xiàn)了試題的上下聯(lián)系，但是給學生的感受只是驚嘆；由式子結構特點而聯(lián)想到定積分，這激發(fā)了全班同學的探究熱情，可見知識的交匯對學生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)是多么受歡迎！

二、為累和型不等式的證明提供一種新方法

例2 (2012天津理20)已知函數(shù)f(x)=x-ln(x+a)的最小值為0，其中a>0.

(1)求a的值；

(2)若對任意的x∈[0,+∞),有f(x)≤kx2成立，求實數(shù)k的最小值；

圖2

(1)設函數(shù)F(x)=f(x)-h(x)，求F(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；

圖3

點評：例2和例3主要考查學生綜合運用所學知識進行推理論證、運算求解的能力，參考答案的解答過程流暢且優(yōu)美；但是，試題中代數(shù)式的和式結構若被面積化，則定積分擁有了彰顯的舞臺，通過計算替代邏輯推理，降低了試題的難度！