線性代數教學主線研究

彭司萍，龍正平

（火箭軍工程大學 理學院，陜西 西安 710025）

線性代數教學主線研究

彭司萍，龍正平

（火箭軍工程大學 理學院，陜西 西安 710025）

分析了線性代數教學現狀，從不同角度對線性代數的教學主線進行了探索研究.舉例說明在線性代數教學過程中重視對教學主線的研究，是化解教學難點，提高教學質量的有效途徑.

線性代數；教學主線；教學難點

線性代數作為數學的一個分支，主要研究有限維線性空間的線性理論與方法，它秉承了一般代數學的實用性、抽象性和高度思辨性的特點.隨著現代科學技術的迅猛發展，特別是計算機技術在工程問題線性化建模與離散數據處理方面的廣泛應用，使得線性代數逐漸成為科技工作者不可或缺的數學工具，它也因此成為經濟類和理工類學生要求掌握的一門重要基礎理論課程.

1 線性代數教學現狀分析

目前，為非數學專業學生開設的線性代數大體上包括以下幾部分內容：行列式、矩陣、線性方程組、線性相關性、二次型、線性空間與線性變換.通過這些內容的學習，不僅可以使學生掌握一些有用的運算工具和算法，更為重要的是可以使學生的邏輯思維能力、運算能力、抽象及分析綜合能力得到嚴格訓練，幫助學生構建起一種嶄新的思維模式，這種思維模式對一個人能力與靈魂的培養和塑造，往往比學習代數知識本身更具有時效性、理喻性、拓展性和實用性，甚至可以影響一個人的一生［1］.然而由于種種原因，當前線性代數卻已成為高等工科院校中的一門難教、難學的基礎理論課程［2-4］，拋開抽象性強、學時少、學生知識儲備不夠等原因，線性代數知識體系自身特點和它獨特的思維模式是造成這種難教、難學現狀的主要原因.這主要是由于線性代數的知識體系在表現形式上是一個個獨立的“塊狀”，而線性代數的思維模式卻是以“集成化”為基本特征，即使用“集成化元素”（向量、矩陣、行列式、多元方程組、空間與子空間）、采用多元整合的方式解決多元問題.線性代數在內容的描述方式上既有代數模式（即使用代數語言進行描述，如矩陣和變換等），又有幾何模式（即使用幾何語言進行描述，如向量和空間等），2種模式對應2種思維形式，即分析思維形式和空間思維形式［5］，學習線性代數需要時時轉換思維形式，對于學生而言這也是學好本門課程的一個難點所在.

因此，知識體系構成的獨立性和思維模式的集成化、多樣化之間的矛盾是當前影響線性代數教學質量的一個重要原因.為了化解這種矛盾，教師在教學過程中，應當注意把握一條主線，將各個孤立的“塊狀”知識聯接起來，串成一個統一、有序的有機整體，使學生在學習過程中能夠清楚各個環節的來龍去脈和前因后果，解決問題時也就靈活自如了.

2 線性代數教學主線研究

從現有文獻資料來看，對線性代數教學主線的研究并不多［6］.結合多年的教學經驗，嘗試從不同角度對線性代數的教學主線進行闡述，包括問題主線、關聯主線和方法主線.

2.1 問題主線

線性方程組是線性代數的一個重要研究對象，主要包括線性方程組解的存在性和線性方程組解的結構.以同濟大學的《線性代數》［7］教材為例，考察線性代數各章的內容，不難發現它們都涉及到線性方程組，或者說都與線性方程組的求解有關.因此，線性方程組的求解可以看作是本課程教學的一個主題和主線，它將各個孤立的“塊狀”知識聯接起來.

雖然各個知識塊都是為線性方程組的求解服務，但是從知識體系的編排來看，它們的地位和作用是不同的.具體來說整個教學過程可以分解為如下步驟：（1）提出問題.生產生活中的許多問題都可以轉化為線性方程組的求解問題，即如何解線性方程組.（2）對于一些簡單、特殊的線性方程組，可以利用行列式即借助克拉默法則進行求解，但這種方法存在局限性.只有當方程個數與未知量個數相等，并且系數行列式不等于零時才可行.因此，需要考慮如何求解一般的線性方程組.（3）通過對高斯消元法和矩陣初等行變換的比較，發現線性方程組的求解都可以歸結為對增廣矩陣的初等行變換，于是得到求解一般線性方程組的方法——矩陣的初等變換法.但當線性方程組的解不唯一時，不同的人得到的解的形式往往不同.因此，需考慮在無窮多個解中，解與解之間是否有關系，能否給出解的統一表達式.（4）在對向量組的線性相關性和線性表示研究過程中可以看出，向量組的線性相關、線性表示其實質就是討論齊次線性方程組和非齊次線性方程組的解的問題，于是進一步得到線性方程組解的結構的表達式.至此，線性方程組的求解問題就已經全部解決.轉而討論線性方程組理論和方法的綜合運用，這就是第五章的知識.第六章對非數學專

圖1 問題主線

問題主線的優點是由淺入深、環環相扣，以問題牽引教學，符合學生的認知規律，有利于激發學生的學習興趣.按問題主線組織教學需要注意以下幾個問題：一是從一個知識塊向另外一個知識塊過渡的時候，所設置的問題應該能起到承上啟下的作用，并且難度恰到好處；二是要求學生緊跟教師的教學進度，對每一個知識塊的基本概念、基本方法以及已經解決的問題、還存在的問題都熟練掌握.

2.2 關聯主線

在為工科學生開設的線性代數課程中，向量組的線性相關性是這一課程的難點和重點.由于它是對向量組一般性質的研究，抽象性很強，學生學習起來感覺有困難，而它的重要性在于本課程的所有內容都與線性相關性存在關聯（見圖2）.

圖2 關聯主線

知識塊之間的這種關聯性就像一張網，將整個線性代數的知識體系包絡其中，形成一個既相互獨立又彼此關聯的有機整體.按照關聯主線組織教學有助于培養學生的發散思維，達到融會貫通的效果.但是，要在教學過程中讓學生理解和掌握這種關聯性不是一件容易的事情，只有當整個課程都學習完了之后，通過對課程的梳理和總結，才可能讓學生感受到這種關聯性的美妙.

2.3 方法主線

歷史上，矩陣是在研究線性方程組的解時產生的一個重要概念，到如今矩陣理論已經成為研究線性代數的一個主要工具，因此有線性代數是一門“空間為體，矩陣為用”［3］32的課程的說法，即矩陣是處理向量空間及其線性變換的工具.考察整個線性代數知識體系，不難發現所有內容都可以用矩陣及矩陣的運算來表示和研究.因此，以矩陣理論為中心可以建立起一條線性代數教學的方法主線（見圖3）.圖3中實箭頭指向表示矩陣理論的基本應用方向，而虛箭頭指向則表示相應理論在矩陣理論研究中的應用.

圖3 方法主線

各組箭頭的具體含義如下：

第1組箭頭：首先，線性方程組可以表示為矩陣方程的形式Ax=b（b=0時為齊次線性方程組，b≠0時為非齊次線性方程組）；其次，可以利用系數矩陣A和增廣矩陣(A, b)秩的關系研究線性方程組是否有解，有多少解；最后，還可以利用矩陣的初等行變換法求解線性方程組.反過來，根據解的情況可以推斷出相關矩陣的關系和秩的情況，還可以利用線性方程組解的性質解釋矩陣運算的某些性質.

第3組箭頭：由于矩陣的秩等于其行（列）向量組的秩，因此可以利用矩陣來研究向量組的線性相關性和線性無關性；向量可看成是特殊的矩陣，因此向量和矩陣擁有相同的線性運算法則.反過來，矩陣也可以看作是有限個有限維列（行）向量組成的向量組，從向量組的線性相關性可以得到矩陣秩的信息.

方法主線能使學生清楚看到矩陣理論在線性代數研究中的應用，有助于發現問題的本質，從而找到解決問題的途徑和方法.特別是隨著計算機技術的迅猛發展，一些以矩陣為運算單元的軟件（如MATLAB）的廣泛使用，使得矩陣這一工具在理論研究和工程實際中扮演著越來越重要的角色.

行列式和矩陣是求解線性方程組有效工具和方法，但若熟練掌握線性代數的教學主線，不難發現也可以通過構造特定的線性方程組來解決行列式和矩陣的一些問題.

例［8］設n階矩陣A的伴隨矩陣為A*，證明：若，則.

一般教學輔導書中都是采用反證法證明的，本文通過構造線性方程組，利用線性方程組解的存在定理（關于線性方程組解的存在性的2個定理）給出證明.

在線性代數教學過程中注意把握教學主線，不僅可以化解教學難點、打通知識關聯，幫助學生建立全局的而不是局部的、系統的而不是孤立的知識概念圖，而且對學生的數學思維訓練和綜合能力的提高具有重要的意義.

［1］ 范新華.21世紀線性代數課程建設與教學改革的探索［J］.常州工學院學報，2005，18（2）：75-78

［2］ 杜建衛.讓線性代數課程易教易學［J］.大學數學，2011，27（5）：179-184

［3］ 李尚志.線性代數教學改革漫談［J］.教育與現代化，2004（1）：30-33

［4］ 周玲.《線性代數》課程教學點滴談［J］.大學數學，2005，21（1）：30-32

［5］ 孫名符.數學·邏輯與教育［M］.北京：高等教育出版社，1994：201-206

［6］ 陳麗，白金諾.線性代數的主線及核心應用［M］.北京：高等教育出版社，2012（10）：8-11

［7］ 同濟大學數學系.工程數學·線性代數［M］.5版.北京：高等教育出版社，2009

［8］ 彭司萍，龍正平.線性方程組在行列式和矩陣計算中的應用［J］.高師理科學刊，2015，35（12）：27-30

Discussion on the main teaching line of linear algebra

PENG Si-ping，LONG Zheng-ping
（School of Science，The Rocket Army Engineering University，Xi'an 710025，China）

A deep analysis of the linear algebra teaching situation is made，some useful ideas for the main teaching line of linear algebra from different perspectives are provided.Several examples are given to illustrate that paying attention to the main teaching line in the linear algebra teaching is an effective way to solve the difficulties and improve the teaching quality.

linear algebra；main teaching line；teaching difficult points

O172.2∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.06.023

1007-9831（2016）06-0075-05

2016-03-02

彭司萍（1979-），女，湖南保靖人，講師，碩士，從事大學數學教育研究.E-mail：pengsip@126.com