射影幾何學的對偶原則

金英姬

由于繪圖學和建筑學的需要，人們對投影性質產生了興趣，射影幾何就是在實際的應用科學和藝術的推動下誕生并發展起來的。區別于具有度量特點的歐式幾何，射影幾何隸屬于非歐幾何范疇，是研究圖形在射影變換下不變的性質。在射影幾何學中，對偶原則占據特殊而重要的地位。

一、對偶原則

對偶原則通常是描述兩個體系之間的某種對稱性的。如果體系A與B互為對偶，則從其中任意一個體系的規律可推知另一個體系的規律。

在射影幾何學中，對偶原則是指在射影命題中，處于對偶關系的元素，可以通過相互替換，將命題A變為命題B從而構成新的命題。特別的，若命題A為真（偽），則命題B亦為真（偽）。

以平面射影幾何學為例，點與直線是處于對偶地位的基本元素，直線是自對偶元素。凡是涉及點與直線接合問題的相關命題都是射影命題。根據對偶原理，將原射影命題中的“點”替換為“線”，“共線”替換為“共點”，“點列”改為“線束”，“在……上”改為“經過……”，原射影命題將會變為一個新的命題，且新命題與原命題保持相同的真偽性。下面以歷史上著名的Pascal定理為例窺探對偶原則的基本思想。

Pascal定理：一個六邊形的六個頂點在一條二次曲線上，當且僅當該三對對邊的交點在一條線上。

Pascal定理的對偶定理：一個六邊形的六條邊切一條二次曲線，當且僅當該三對頂點的線交于一點[1]。

事實上，Pascal定理是關于點、直線及它們的接合關系的射影定理，其對偶命題就是歷史上的著名的Brianchon定理。一般的，適用于二維射影平面上的對偶原則稱為平面對偶原則。適用于三維射影空間上的對偶原則，被稱為三維空間對偶原則。類推，存在n維空間對偶原則。但是，值得注意的是，但在不同維度的空間里，其對偶元素、對偶命題是不盡相同的。

二、射影幾何中對偶原則產生的理論根源

追溯射影幾何學中對偶原則的理論根源，首先應深刻理解射影平面上引入的無窮遠元素和無窮遠直線。在歐式幾何中，每組平行線是沒有交點的，平行平面也沒有交線，這導致了中心映射無法成立。射影幾何最中心和最首要的問題是解決圖形在中心投影或平行投影變化問題。因此，為了使中心映射在空間中滿足雙射，在每一條直線上添加一個理想點，在每張平面上添加一條理想直線，從而引入了無窮遠元素和無窮遠直線的概念。

若歐式平面中單純的引入無窮遠元素和無窮遠直線，歐式平面則變為仿射平面。在仿射平面中，有窮遠元素和無窮遠元素是兩個截然不同的概念。如果將有窮遠元素與無窮遠元素不加區別使用，則仿射平面變為射影平面。因此，區別于歐式幾何和仿射幾何，在射影平面中任意兩直線都相交于同一個無窮遠元素，這直接導致有接合關系的點與直線之間的關系有了新的變化，它們在射影平面中處于平等地位，對偶關系應運而生。

三、對偶原則的廣泛應用

簡潔性和廣義對稱性是對偶原則的重要特點。對偶原則不僅適用于射影幾何，在數學的其他分支學科中也適用。根據對偶原則，若定理的內容只涉及對偶關系的元素，則這個定理一定可以得到對偶命題，且該命題一定成立。例如，在布爾代數中，可以利用對偶原則，將對偶變量互換得到等價公式和規則，從而極大地簡化運算規律與運算公式。德摩根定理、廣義德摩根定理、香農定理、置換規則、反演規則等都是對偶原則下的經典實例。在自動控制與系統工程領域中，利用對偶原則可以研究經濟學中的相互確定關系。例如，效用與支出，產出與成本，等等。通過對偶規劃及在積分變換中研究互逆變換等，可以將實際問題轉變成數學結構，利用對偶原則關聯起來可以更好地解決問題。

在物理學中，對偶原則及其方法也得到廣泛的應用。利用對偶原則和對偶現象，以有效地揭示元素之間一些相似或相對的內在聯系，簡化認知事物的過程。對物理學家而言，對偶性既是理論物理研究的核心概念，又是實驗物理研究的重要范疇[2]。比如，在電路學中，不論是電路元件、電路拓撲結構還是電路分析方法，等等，利用電路的對偶關系可以從一個電路的元件特性推演出其他電路元件的特性。在弦論研究中，基于對偶原則，可以窺探得知：擁有不同時空和不同拓撲的弦論，卻可導致相同的物理學。在研究和探索自然規律的進程中，借助對偶原則的引導，將激勵科學家進行更大膽的猜想、假設、實驗和論證。

參考文獻：

[1]莫里斯·克萊因，古今數學思想[M].上海：上海科技出版社，2006.

[2]沈健，弦論的對偶性能為科學哲學帶來什么[J].科學技術哲學研究，2013，30（4）：1-5.