通脹市場下多設(shè)備租賃的在線策略分析

徐維軍，劉幼珠，陳曉麗，胡茂林，高 麗

(1. 華南理工大學(xué)工商管理學(xué)院，廣東 廣州 510641；2. 淮陰師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 淮安 223300；3. 華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510641)

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通脹市場下多設(shè)備租賃的在線策略分析

徐維軍1，劉幼珠1，陳曉麗1，胡茂林2，高 麗3

(1. 華南理工大學(xué)工商管理學(xué)院，廣東 廣州 510641；2. 淮陰師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 淮安 223300；3. 華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510641)

現(xiàn)實租賃市場中，企業(yè)同時租賃多臺設(shè)備的現(xiàn)象大量存在，但經(jīng)營者面臨的最大難題是如何對這多臺設(shè)備進行在線租賃的組合優(yōu)化，從而降低決策成本，而通貨膨脹又進一步增加了決策難度。本文運用在線算法和競爭分析法建立多設(shè)備投資的風(fēng)險控制策略，并分析通脹對決策的影響。首先在Karp經(jīng)典模型上給出通脹因素下多設(shè)備投資的最優(yōu)在線和離線策略；接著建立設(shè)備租賃在連續(xù)可分情形下的最優(yōu)風(fēng)險控制模型，進一步結(jié)合實際投資中設(shè)備必須以離散整數(shù)租賃的特點，對CR策略進行調(diào)整和優(yōu)化，得到近似的CRJ策略，使得策略更符合實際投資活動。最后給出具體實例分析，結(jié)果顯示，當物價指數(shù)逐漸增大時，最優(yōu)決策日期相應(yīng)提前，對應(yīng)最優(yōu)策略的競爭比也逐漸增大，進一步說明物價指數(shù)因素和多設(shè)備投資因素的引入對投資者的決策有著重要的影響，為多設(shè)備在線租賃問題的研究提供了新的解決思路。

通貨膨脹；多設(shè)備租賃；在線算法；競爭分析

1 引言

日常經(jīng)濟活動中，設(shè)備不斷多樣化呈現(xiàn)且設(shè)備更新速度不斷加快已成為事實，隨著經(jīng)濟的發(fā)展、市場競爭的越來越激烈，為追求資金的利用效率，越來越多企業(yè)一改傳統(tǒng)投資思維模式，即由原來偏好固定資產(chǎn)投資傾向于根據(jù)市場的需求情況靈活地租賃多臺設(shè)備，如航空公司租賃飛機、醫(yī)院租賃大型醫(yī)療設(shè)備等。我國的租賃行業(yè)也由此快速增長，機構(gòu)數(shù)量從2009年的160多家增加到現(xiàn)在的約750家，業(yè)務(wù)總量從2009年的3000億元增長到現(xiàn)在的19000億元，租賃逐漸成為經(jīng)濟活動中一種常見的投資方式。而當真正做決策時，不得不考慮市場中其它宏觀因素的影響，如，通貨膨脹因素。2000年末我國的廣義貨幣M2僅為13.8萬億元，2015年1月已達124.3萬億元，14年間凈增長110.5萬億元，漲8倍多；同期，2000年末人均GDP為9.9萬億元， 2014年末達到63.64萬億元，凈增長54萬億元，漲5倍多；對比貨幣供應(yīng)量和GDP的增長情況發(fā)現(xiàn)，貨幣發(fā)行增長率遠大于經(jīng)濟增長率，導(dǎo)致貨幣貶值、物價急劇攀升。由于通貨膨脹因素的影響，企業(yè)生產(chǎn)過程中的設(shè)備資產(chǎn)等價格不斷上漲，這對投資者的投資決策產(chǎn)生重要影響。因此，基于現(xiàn)實背景和投資決策需要，研究通貨膨脹中的設(shè)備投資租賃問題具有一定的現(xiàn)實意義。

雖然許多學(xué)者對該問題進行了大量研究，但是他們大多從稅收對租賃決策的影響[1]、租賃對企業(yè)財務(wù)結(jié)構(gòu)的影響[2]及租賃對企業(yè)績效的影響[3]等角度進行研究。然而在實際的設(shè)備投資活動中，由于種種因素限制，投資者往往無法精確知道設(shè)備使用的時間段，但又不得不立即做出采用何種投資策略的決定，此時如何進行設(shè)備的投資使得成本最低呢？1992年，Karp[4]首先運用在線算法和競爭分析法對該問題進行了研究，他假設(shè)，設(shè)備的購買價格是p，每期租金是1，經(jīng)過分析和證明給出最優(yōu)的在線策略是：在前p-1期內(nèi)采用一直租賃設(shè)備的策略，而一旦第p期仍需要則購買(該策略的競爭比達到最小為2-1/p)。在Karp提出的經(jīng)典“租雪橇”模型基礎(chǔ)上，眾多國內(nèi)外學(xué)者進行深入的擴展研究。Yaniv[5]在此基礎(chǔ)上提出市場利率下的確定性在線租賃模型，并擴展給出均衡策略下的隨機性在線策略。進一步，Binali[6]考慮投資者的風(fēng)險偏好，給出風(fēng)險補償下的在線租賃策略。之后，學(xué)者們在此基礎(chǔ)上繼續(xù)考慮投資活動中伴隨的市場因素，如設(shè)備價格變動和價格折扣[7-9]、多階段和多策略租賃[10-13]、設(shè)備更新[4-15]、通貨膨脹[6-17]、復(fù)利[8]、時間約束[9-20]、績效比[21]等，改善了決策者的決策條件和信息知識，使決策更符合實際投資活動。

已有文獻都是在Karp單一設(shè)備資產(chǎn)上進行的一系列研究，而實際投資中由于業(yè)務(wù)需要可能需同時使用多臺設(shè)備生產(chǎn)。下例子說明多設(shè)備租賃問題與單一設(shè)備租賃問題的不同：某公司需要同時使用2臺設(shè)備，但不知道需要使用多長時間，每臺設(shè)備的購買價格為10，租賃價格為1，公司可選擇租賃兩臺設(shè)備、或購買兩臺設(shè)備、或租一臺設(shè)備再買一臺設(shè)備等，那么何種租賃策略最劃算？按照Karp單一設(shè)備租賃模型，把兩臺設(shè)備看成一個整體，得到的最優(yōu)租賃策略是：前9期連續(xù)租賃兩臺設(shè)備，第10期若仍需要使用，就購買兩臺設(shè)備，得到的競爭比為2-1/10=1.9。但這并不是最優(yōu)策略，事實上公司可采取在前6期每期都租用兩臺設(shè)備，在第7期開始如果還需要使用設(shè)備就購買一臺設(shè)備、再租用一臺設(shè)備直到第9期結(jié)束，當?shù)?0期還需要時再買下一臺設(shè)備的策略，則可得到1.75得到競爭比，顯然此策略要優(yōu)于Karp提出的單一設(shè)備租賃策略。由此可知多設(shè)備租賃問題與單一設(shè)備租賃問題存在著本質(zhì)上的區(qū)別，多設(shè)備租賃問題并不是單一設(shè)備租賃問題的簡單推廣。

對于多設(shè)備租賃的研究，胡茂林[22-23]假設(shè)所需的多設(shè)備是連續(xù)可分資產(chǎn)，并給出對應(yīng)的風(fēng)險控制策略，接著，又將利率因素引入模型，給出存在市場利率的連續(xù)松弛多重在線租賃策略。但在投資中，設(shè)備往往不是連續(xù)可分，而目前尚沒有文獻對離散多設(shè)備租賃問題進行研究。考慮到實際投資的需要，本文給出通脹市場下離散多設(shè)備投資的最優(yōu)方案，給投資者的決策提供一定的理論和現(xiàn)實指導(dǎo)。

2 通脹下Karp的在線租賃策略

某企業(yè)需要使用多臺設(shè)備，但事先并不確定到底需使用設(shè)備多長時間，決策者又必須在每期的開始立即做出是繼續(xù)租賃還是購買該設(shè)備的決定，一旦購買某臺設(shè)備，則以后如還需使用則不必再支付任何費用，那么何種策略是最優(yōu)的呢？

針對多設(shè)備在線租賃問題，假設(shè)如下：

(a)在線決策者需要使用某設(shè)備m臺，每期每臺設(shè)備的租賃費用為l，購買價格為p；

(b)考慮到實際生活中通脹因素的存在，則設(shè)備的租賃和購買價格隨時間推移持續(xù)上漲，假設(shè)每期上漲的比例是ρ(ρ≥0)，稱為物價上漲指數(shù)；

(c)不考慮除物價上漲指數(shù)外的其他因素，如設(shè)備的壽命等。

基于假設(shè)條件，首先采用Karp最早在“租雪橇”問題中提出的在線算法和競爭分析方法進行研究。Karp在策略中給出在線和離線兩種可比投資策略，可供在線者選擇策略集為S={S(1),S(2)…}；離線者的不確定策略集為Σ。對于在線者的策略S(t)及離線者的不確定輸入σ∈Σ，記其決策費用分別為Coston(σ;t)和Costoff(σ)，如果存在一個與σ無關(guān)的常數(shù)λ使Coston(σ;t)≤λ*Costoff(σ)成立，則最小的λ稱為該在線策略的最優(yōu)λ-競爭比。

令R(t)表示在線策略S(t)的競爭比，即有：

假設(shè)設(shè)備實際租賃的時間段為n，若n是已知的稱為離線問題，否則為在線問題。顯而易見，在該問題中離線者的費用是：

(1)

其中n*滿足n*=ln(sρ+1)/ln(1+ρ)，s=p/l。

對于在線者，設(shè)策略S(t)表示：前t-1期總是租賃設(shè)備，到第t期若還需要則購買設(shè)備。此時，在線者選擇策略S(t)需支付的費用是：

(2)

根據(jù)在線和離線策略的費用及競爭比的定義，易得到策略S(t)的競爭比R(t)為：

進一步，通過在線算法和競爭分析可證明該問題的最優(yōu)競爭比R(n*)為以下定理2.1。

定理2.1 對于每期租金是l、購買價格是p、物價上漲指數(shù)是ρ、設(shè)備總單位數(shù)是m的在線租賃問題，運用Karp模型得到的最優(yōu)策略是：前n*-1期都租用設(shè)備，到第n*期若還需要即買下設(shè)備。對應(yīng)的最優(yōu)競爭比是：

R(n*′)=minR(t)

3 風(fēng)險控制下的多設(shè)備在線租賃策略

s.t.0≤mt≤m,t=1,2,…,n且mt是整數(shù)

為確定每期購買和租賃設(shè)備的數(shù)量，我們借助外匯兌換[24]的思想給出以下策略以控制風(fēng)險獲取最優(yōu)競爭比α，對應(yīng)的策略稱為CR策略：

(i)在前n*期中，當每個租賃期t到來時，如果投資者還需使用該設(shè)備，則考慮購買足夠數(shù)量的設(shè)備mt，使得即使以后設(shè)備不再使用時仍能保證得到競爭比α；

(ii)前n*期購買設(shè)備的總量應(yīng)等于投資者總共需要的設(shè)備數(shù)量m，以免投資者如果在n*+1期及以后仍需使用該設(shè)備時還要再支付租賃費用。

按照CR策略，不難得出定理3.1。

定理3.1 對于每期租金是l、購買價格是p、物價上漲指數(shù)是ρ、設(shè)備總單位數(shù)是m的在線租賃問題，最優(yōu)的在線風(fēng)險控制策略是：當?shù)趉(1≤k≤n*)期到來時，投資者考慮購買的設(shè)備單位數(shù)量是mk，而剩余的m-m1-m2-…-mk單位設(shè)備進行租賃。CR策略得到的最優(yōu)競爭比是：

其中每期購買設(shè)備的單位數(shù)是：

(3)

證明：用歸納法進行分析。

1)當?shù)谝黄诘絹頃r，投資者考慮購買的設(shè)備數(shù)量是m1，則剩余的m-m1單位設(shè)備進行租賃，根據(jù)CR策略法則，有競爭比α滿足：

則第一期購買的設(shè)備單位數(shù)m1是：

2)按照數(shù)學(xué)歸納法原則，現(xiàn)假設(shè)當i=k-1時，有式子(3)成立：

3)現(xiàn)需證明當j=k時式(3)同樣成立。

當j=k，即當?shù)趉期到來時，投資者考慮購買設(shè)備單位數(shù)是mk，剩余的m-m1-m2-…-mk單位設(shè)備進行租賃，根據(jù)CR策略有競爭比α滿足：

α=

(4)

對式(4)化簡得：

(α-1)ml(1+ρ)k-1=

(5)

根據(jù)已知mi(1≤i≤k-1)的表達式，式(5)化成：

由此可得式(3)同樣成立：

因此，由數(shù)學(xué)歸納法原理可得，對于1≤i≤n*均有式子(3)成立。

同時，由CR策略的第二條法則可得：前n*期購買設(shè)備的總量應(yīng)等于投資者共需的設(shè)備數(shù)量m，即有：

由此可得策略的競爭比α為：

對應(yīng)每期購買設(shè)備的單位數(shù)是：

至此，定理3.1證明完畢。

從理論上我們給出每期租賃和購買設(shè)備的單位數(shù)及其對應(yīng)的最優(yōu)競爭策略和競爭比，但可看出理論上所得到的單位數(shù)可能都是非整數(shù)的。而在實際投資中，購買和租賃設(shè)備都是以整數(shù)單位進行投資的，因此有必要對理論結(jié)果進行調(diào)整，設(shè)法得到近似的最優(yōu)解，使得策略更符合實際投資。進一步，對策略CR進行改進得到CRJ策略，具體的調(diào)整規(guī)則如下：

(i)根據(jù)CR策略算出理論上的最優(yōu)競爭比α及每期購買單位數(shù)mk；

(iii)由于規(guī)則(ii)中對設(shè)備購買單位數(shù)都進行取整的調(diào)整后，可能到第n*期時總共購買的單位數(shù)不等于設(shè)備原本總需要的單位數(shù)m，此時需要進行第二次調(diào)整，分兩種情況討論：

(iv)對所有n*期購買和租賃的設(shè)備單位數(shù)都進行調(diào)整后，得到近似的競爭比α″。

需注意的是，該策略是按照實際投資情況對理論上的最優(yōu)策略進行的調(diào)整，得到近似的CRJ策略的最優(yōu)性還需進一步驗證，但無論如何，本文提出的策略更適應(yīng)實際投資離散的情形，且能有效分散投資風(fēng)險和提高競爭比性能，具有一定的現(xiàn)實投資指導(dǎo)意義。

4 算例分析

基于實際投資中物價不斷上漲的現(xiàn)象和投資者因生產(chǎn)需要同時使用多臺設(shè)備的事實，本文以通貨膨脹為背景，考慮物價上漲和多設(shè)備投資的因素，根據(jù)在線算法和競爭比理論構(gòu)建投資策略，本小節(jié)將對模型中的參數(shù)分別取不同數(shù)值進行算例分析，進一步說明物價指數(shù)因素和多設(shè)備投資因素的引入對投資者的決策有著重要的影響。

以大型工程公司租賃工程設(shè)備為例，某大型工程公司需要某工程設(shè)備30臺，公司可以按每個設(shè)備5萬元的價格購買這些設(shè)備，也可以按每月每臺設(shè)備1000元的價格進行租賃，還可以采取購買一部分再租賃一部分設(shè)備的策略。已知當前的物價上漲指數(shù)是0.02，但是公司決策者并不知道工程什么時候結(jié)束，需要使用設(shè)備多長時間，那么決策者應(yīng)該采取何種投資策略才是最優(yōu)的呢？根據(jù)上述問題，采用本文給出的投資策略，則有參數(shù)m=30、p=50000、l=1000、ρ=0.02。按照CR策略計算，最優(yōu)的決策時間是在35個月內(nèi)完成投資，其決策結(jié)果如表1。具體決策過程如下：首先，根據(jù)CR策略算出理論上每期購買的單位數(shù)mk(見第二列)；然后，按每月設(shè)備購買單位數(shù)mk的優(yōu)化規(guī)則得到調(diào)整后的離散購買單位數(shù)(見第三列，按策略調(diào)整得總共購買35臺設(shè)備，而實際只需要30臺)，經(jīng)過第一次調(diào)整得到每期的競爭比見第五列；接著，需要進行第二次調(diào)整，取競爭比最大的五期調(diào)整，調(diào)整后每期的購買數(shù)量見第七列，對應(yīng)調(diào)整后的每期競爭比見第九列，此時已完成整個優(yōu)化過程。

在同樣的物價水平ρ=0.02下，根據(jù)Karp經(jīng)典“租雪橇”模型即本文第二部分，可得出模型的最優(yōu)競爭比是2.9216(即是此模型中最優(yōu)的投資策略結(jié)果是事后投資決策最優(yōu)成本的2.9216倍)。當假設(shè)設(shè)備是連續(xù)可分資產(chǎn)時，根據(jù)CR策略可得對應(yīng)的最優(yōu)競爭比是1.9728。而本文提出的多設(shè)備離散情形下的租賃策略的最優(yōu)競爭比是2.0933。可看出，我們提出的離散策略效果雖沒有理論上連續(xù)的結(jié)果理想，但明顯好于Karp之前的設(shè)備整批租賃模型，相比之下，本模型能更好的服務(wù)于現(xiàn)實投資決策。

表1 m=30、p=50000、ρ=0.02條件下CR策略和CRJ策略的決策過程

表2 不同參數(shù)下CRJ策略的比較和分析

不失一般性，我們對投資模型中的不同參數(shù)取不同數(shù)值進行進一步分析，對應(yīng)情況下的投資策略如表2所示。

從表2可看出，當物價指數(shù)保持不變時，隨著總需要設(shè)備單位數(shù)的增多，最優(yōu)競爭比逐漸減小，特殊地，當需要的設(shè)備單位數(shù)趨于正無窮大時，離散情形下的最優(yōu)競爭比無限接近于連續(xù)問題的最優(yōu)競爭比。而當物價指數(shù)逐漸增大時，最優(yōu)決策日期相應(yīng)提前，對應(yīng)情形下的最優(yōu)策略競爭比也逐漸增大。這也進一步說明了物價指數(shù)和多設(shè)備投資因素對投資決策具有重要的影響。

5 結(jié)語

基于現(xiàn)實金融租賃市場中物價不斷上漲的現(xiàn)象和投資者有時需要同時使用多臺設(shè)備的事實。本文以通貨膨脹為背景，考慮多設(shè)備投資、物價上漲等市場因素的在線租賃問題，給出其在理論上最優(yōu)的在線、離線策略和競爭比，在此基礎(chǔ)上考慮實際決策中設(shè)備的投資數(shù)量需滿足整數(shù)的條件，進一步對理論數(shù)據(jù)進行調(diào)整，以期獲取理論最優(yōu)策略的一個近似策略。最后通過數(shù)值例子分析實際投資的方案和各種參數(shù)對投資的影響，結(jié)果表明物價上漲因素對多設(shè)備的投資決策具有一定影響。

但是，本文給出的離散設(shè)備的投資策略由于其需根據(jù)CR策略結(jié)果進行多次優(yōu)化，其最優(yōu)性也難以證明，只能從一般的算例中進行討論和分析。但可以證明的是，該策略結(jié)果優(yōu)于Karp之前提出的設(shè)備整批租賃策略，對離散多設(shè)備投資有興趣的讀者可以進一步探討分析其最優(yōu)性。

另外，本文的研究仍假設(shè)投資者對未來設(shè)備的需求信息一無所知，只根據(jù)過去和目前的信息作出決策，這往往忽略了某些有用的信息。因此，在今后的研究中，主要是在本文研究的基礎(chǔ)上考慮設(shè)備的未來需求序列服從某種概率分布的在線策略，使問題更貼近實際。同時，進一步將概率預(yù)期下的兩種風(fēng)險補償模型運用于其它各種租賃問題中，如帶租賃合同約束、設(shè)備更新問題等，考慮投資者的風(fēng)險補償偏好，設(shè)計出更有效、實用的在線策略。

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Competitive Strategy for On-line Multiple Devices Leasing in an Inflation Market

XU Wei-jun1, LIU You-zhu1, CHEN Xiao-li1, HU Mao-lin2, GAO Li3

(1.School of Business Administration, South China University of Technology, Guangzhou 510641, China;2.School of Mathematical Science, Huaiyin Normal University, Huaian 223300, China;3. School of Mathematics, South China University of Technology, Guangzhou 510641, China)

There exist massive phenomena of leasing multiple devices at the same time in the real leasing market. And the biggest problem what the manager faces is to optimize the combination of multiple devices on-line leasing in order to reduce the decision-making cost. However, inflation further increases the difficulty. In this paper, risk control model for the multiple devices leasing problem is put forward using the method of on-line algorithm and competitive analysis, and the impact of inflation on decision-making is analyzed. Firstly, the on-line and off-line strategies are proposed respectively for the multiple devices leasing according to the model of Karp’s with the factor of inflation. Then to improve the competitive ratio in Karp’s model, the risk control strategy which we call the CR strategy is discussed in theory with the hypothesis that the device is continuous separability. Furthermore, when consider that the number of devices investing in real decision-making must be integer, the risk control model is reconstructed and optimized to gain a new approximate strategy-CRJ strategy. Finally, the optimal competitive performance of the strategy is discussed and illustrated by numerical analysis, which shows that the competitive performance of on-line strategy is affected by the fact of inflation and the ways of investing. More, a new idea in multiple devices leasing problem is given in this paper.

inflation; multiple devices leasing; on-line algorithm; competitive analysis

1003-207(2016)02-0069-07

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2016.02.009

2013-12-15；

2015-03-11

國家自然科學(xué)基金資助青年項目(71471065)；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費專項資金資助(2012ZZ0035)；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費自然科學(xué)類項目(x21xD214183W)

簡介：徐維軍(1975-)，男(漢族)，寧夏人，華南理工大學(xué)工商管理學(xué)院研究員，研究方向：在線金融算法,E-mail:xuwj@scut.edu.cn.

F224

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