解題中的構造法

【摘要】：本文主要介紹了構造法的兩大類型，一類是模型性構造，

包括：構造方程，構造函數，構造模型等。另一類是技巧性構造，包

括：構造特例，構造對稱等，兩種類型都給出了相應的例題，而從這

些例子中可以看出，這些想法的實現是非常靈活的，沒有固定的程序

和模式，不可以生搬硬套，但可以從中總結規律。旨在培養學生獨立

思考發散性思維的能力，給學生們以創新的思想。

【關鍵詞】：構造；方法；創新。

天才的古希臘數學家歐幾里得不僅是歐氏幾何學的奠基人，也是

數學上“構造法”的創始人，在那本被后人奉為數學上最早的經典著

作《幾何原本》中歐幾里得第一次用“構造法”巧妙地證明了數論中

的歐幾里得定理。通常數學問題解決時，有些問題如按常規的由條件

到結論的定向思考來解決比較困難，甚至無從下手，這時，我們經常

要求改變思維方向，換一個角度思考，構造方法便是能實現這一過程

必備手段之一，所謂構造方法就是數學中用已知條件中的元素為“元

件”，用已知數學關系作為“支架”，在思維中構造出滿足條件或結論

的數學對象，使原問題中隱晦不清的關系和性質在新構造的數學對象

中清楚地展現出來。

一﹑模型性構造

1﹑1 構造方程

構造方程解題依據方程的理論，運用方程觀點有效分步，具體可

分為① 將問題化為方程②解這個方程所需的性質（判別式或韋達定

理）③將方程的結論對應的返回到原問題的結論，其前提是在熟練掌

握根與判別式關系及一元方程的韋達定理前提下，觀察，剖析題設，

構造出隱含方程。

例題1：若p.qR， p3 q3 2，求證0 p q 2

證明：由p3 q3 2，有（p+q）3 3pq（p q） 2，

顯然，p q 0

3 2 ，

3

p q k pq k

k

令 則 構造方程

3

2 2 0

3

x kx k

k

則p，q是上述方程的二實根，于是

3

2 4 2 0

3

k k

k

8 3 0

3

k

k

即 解得0 k 2，即0 p q 2

1﹑2 構造函數

函數是數學中的重要內容，有時解決數學問題時，可變換思維角

度構想成一種函數關系，并利用函數各種性質，單調，有界，奇偶等，

巧妙解題。其間是有較大的靈活性和技巧性，對培養學生的創新能力

具有一定的效果。

例題2 已知a ，b，cR ，求證： 2 2 2

2

a b c a b c

b c c a a b

分析：稍加變形此類能變成二項平方和函數的不等式的證明，可結合

判別式的特征，如本題通過構造二項平方和函數

2 2

1 1 2 2 f （x） （a x b ） （a x b ） （ ）2 n n a x b ，由f （x） 0，得 0。可

使一些問題簡單化，故本題可如下證明：

證明：構造函數

F（x）=

（ a x b c）2 （ b x c a）2 （ c x a b）2

b c c a a b

= 2 2 2

（ a b c ）x2 2（a b c）x 2（a b c）

b c c a a b

∵F（x） 0， ∴ 0，即4 2 2 2

（a b c）2 4（ a b c ） 2（a b c） 0

b c c a a b

又∵a，b，cR ，∴ 2 2 2

2

a b c a b c

b c c a a b

例題3 已知

， [ ， ]

4 4

x y

， a R，且x3 sin x 2a 0①

4y3 sin y cos y a 0 ② 求cos（x 2y）的值。

分析：由已知得x3 sin x =2 a =（2 y）3 sin（2 y） ，兩邊看起來相

似，筆者以為此類問題進行分析和轉化的過程中常常需要添進一些題

目所給已知條件以外的數學對象才能互相銜接起來，這些已知條件外

的對象我們稱為輔助元素，由上分析x3 sin x =（2y）3 sin（2y）不難構造

此輔助函數f （t） t3 sin t，

[ ， ]

2 2

t

，

解：由題意f （x） f （2 y）由于函數f （t） t 3 sin t 是奇函數且在

0，

2

上是增函數，故在

[ ， ]

2 2

上也是增函數。

x 2y，即cos（x 2y） =1為所求。

1﹑3 構造圖形

數學和其他學科一樣，要學以如致用，“建模”思想就把數學這

門高度抽象的基礎學科與實際生活緊密地聯系在一起，正美國數學家

斯蒂恩說的，如果一個特定的問題可以轉化為圖形，那么從思想上就

整體地把握了問題，并能創造性地思索問題的解法。

例4. 已知正數a、b、c，A、B、C 滿足

a +A=b+B=c+C=n

求證： a B+Bc+cA< n2

分析：此題解決的方法很多，

但都不是很簡單的。如何利用好

已知的等式是解決此題的關鍵，

解：我們以n 為邊長構造一個正三角形MNP（如圖1），則各頂點

上小三角形面積之和小于大三角形的面積故有：

1 sin 60

2

aB + 1 sin 60

2

bC + 1 sin 60

2

cA = 1 2 sin 60

2

n 從而a B+b C+cA< n2

例題5 試證： 對任何

a 0， b 0， c 0，都有

a 2 ab b2 b2 bc c2 a 2 ac c2

，當有僅當

c

1

a

1

b

1

時等號成立。

觀察題目特點，

從a 2 ab b2 a 2 b2 2ab cos 60 聯想到余弦定理，可以構造三角

形，同理，另兩個根式也可構造三角形，利用幾何圖形進行證明。