高中數學的學習活動——解題后的反思

【摘 要】對于學生而言，在解題中出現的諸多問題或錯誤，往往并非缺少必要的知識，而是缺少必要的習慣和技能，而反思就能很好的解決這個難題。本課題以學生在解決數學問題時自我反思現狀的調查為依據，以喬治·波利亞的“怎樣解題表”為依托，對數學解題反思內容和學生解題過程中反思意識培養的策略進行研究，以兩個班的學生為實踐研究對象，通過各項數據對比得出研究結論：通過反思意識的培養，能明顯改善學生的數學學習興趣，有效解決學生知識點易混淆的通病，更快速有效的找準解題突破口，使用高效策略，放棄低效策略，促進知識的同化和遷移，開發解題智慧，提高思維能力，提升學生的應試能力；長期堅持下去，不僅能進一步培養學生的樂觀、勤奮、勇敢、鎮定等優秀思維品質，同時可使學生思維的深刻性、批判性、廣闊性，靈活性和創新性得以鍛煉和提高，達到減負增效的目的。

【關鍵詞】反思；規律；策略；自我提問；學習興趣

一、問題的提出

在《不等式》這一章中，由于恒成立問題處于比較重要的地位，我們設計了這樣兩個題：①已知x2+ax+1>0對x（0，1]恒成立，求實數a的范圍；②已知x2+ax+2a+5>0對x（2，2）恒成立，求實數a的范圍。

一個作為例題，一個作為課后訓練測試題。這兩題事實上是同一類型的問題，但訓練的結果卻讓人吃驚，有一半以上的同學不會求解。對于這兩個幾乎是一模一樣的題，為什么會產生這種結果呢？

調查表明，在中學階段，明確表示對數學感興趣，喜歡數學，并想以數學研究作為未來從事的職業的學生幾乎沒有。

在教學過程中我碰到許多學生因急功近利，只顧埋頭完成作業或進行大量解題訓練，普遍缺少一個重要的環節--解題反思。而解題反思是提高解題能力的一個重要的環節，引導學生解題后反思，能促進學生的理解上升到一個更高的層次，促使他們從不同的角度，不同的層次，多方面地對問題進行反思，從而深化對問題的理解，揭示問題的本質，探索出問題的一般規律，得以優化學生的思維品質，才能高質量的完成教學任務，學生也就能真正的擺脫題海。

因此如何培養學生的解題反思意識，教會他們如何反思與總結，待以探索與研究。

二、研究目標與內容

（1）通過對解題反思的研究，使教師與學生達成共識：對解題的真正學習是“解題反思”。解題的目的是為了積累解題經驗，形成有效的解題策略與方法，從而在遇到新問題時，能準確找到解題突破口，快速、準確、清晰的形成解題思路，開發解題智慧，培養優秀數學思維品質，提高分析解決問題的能力。

（2） 通過對解題反思的研究，更新數學解題傳統觀念，把握數學解題規律，提高數學教學質量，從而提高學生學習成績，減輕各方面對教學的壓力。

（3）通過本課題的研究與實踐，使學生的個性與智慧得到充分地釋放。

三、研究的方法與步驟

（一）研究方法：

（1）個案研究法；（2）行動研究法；（3）調查法；（4）文獻研究法。

（二）研究步驟

①申報階段（2016年9月——2016年10月）：完成課題研究方案制定、申報工作，進

行理論資料的準備、調查分析，收集整理資料，確定研究方法，制訂課題實施構思研究框架、執行計劃，對方案進行論證。

②研究階段（2016年10月——2016年11月）實施課題計劃，課題開展研討活動，收集第一手資料，進行資料研究，數據處理、補充調查，專家咨詢，

③總結階段（2016年11月——2017年3月）系統分析課題研究有關資料，形成課題總結報告，為推廣工作和開展進一步研究奠定基礎。

五、研究的過程與策略

（一）解決數學問題后自我反思現狀調查分析。

通過調查，發現大部分學生在解決問題后都不善于反思，其表現為：

1.許多學生因急功近利，只是把解決問題當作一種任務，只求快速完成做了許多題，但是過一段時間，前面做過的題目全忘了，做了很多無用功。

2.對做過講評過的題印象很淺，許多思考多次的問題仍處于迷茫狀態，基礎知識、基本技能總感覺把握不住，夯不實，知識連貫不起來，學習了后面忘了前面，

3.他們普遍關注的是問題解決了沒有，而很少有人去關注解決問題的策略。

4.解決問題后，學生自覺檢查意識差。學生做作業老師批改天經地義，至于檢查作業對錯那是老師的事情，似乎和他們沒有關系。

5.學生分析錯誤原因意識較差。教師講評或對過答案后，他們知道題目做錯時，并不思考錯在什么地方，為什么錯，而是把正確的解答照抄一遍。

（二） 數學解題反思內容的研究---“解題反思”思什么。

1.反思過程，查缺補漏，追求完美，確保解題的合理性和正確性。

解數學題時，常由于審題不慎、概念不清、忽視隱含條件、套用相近知識、考慮不周或計算出錯，難免產生這樣或那樣的錯誤，因此數學解題，并不能保證一次性準確和完善。

學生解題錯誤類型，多不勝舉，有些明顯可見，有些較為隱蔽，可惜的是不少同學只滿足于完成任務，解完了事，不加以思考回顧，任其漏洞百出，由此產生大量學生自以為由粗心、不仔細造成的謬誤。如果學生有解題后反思的習慣，是不難發現并及時予以糾正的。因此要在平時多注意培養學生的錯誤警戒意識。提醒學生在解題之后，要對自已的解題過程進行有效的反思，確保解題的合理性和正確性。

解題結束時，對解題的過程進行反思回顧，目的是審視自己在讀題、推理、運算等方面是否存在明顯失誤，通過即時的糾正使解題過程盡善盡美。這是反思的初級階段。

2.反思方法、探究規律，使重要題型、方法的解題規律條理化，在解題中應用自如，減少解題思考時間。

對于容易題，大部分同學能很快抓住問題的本質，找到解題的思路和方法，但拿到一個較復雜的題目，思路會多次受阻，在尋找解題的思路和方法上花大量的時間，在考試時就表現為時間不足，倉促應對，造成成績不穩定或下滑。

事實上數學題型雖然千變萬化，但萬變不離其宗，大部分類型的題目有其固定的解題模式與思路，若在解題后能善于總結各類題型的基本解題思路，并應用于相近的題型中，能使解題少走彎路，大幅減少解題前的思考時間，提高解題的速度與正確率。

解題結束后，如果能及時反思，復現一下整個解題思維過程，重新認知已知條件，形成通用解題模型，優化整合思維過程與方法，促進學生知識的正向遷移，勢必能提高學生的分析、綜合能力。這是反思的較高境界。

通過這樣的反思，自主回憶與該題同類或相近的習題，并進行認真對比分析，找到解決這類題目的技巧和方法，并能進行適當的拓展和必要的延伸，達到舉一反三、由點到面、觸類旁通、由一題到一類題的目的，達到解一題破百題的學習效果，這也表明反思已進入更高境界。

（三） 學生解題過程中反思意識培養的策略研究。

策略一、開展反思性教學，有意外顯解題反思的過程與方法，加強反思方法的指導，確保學生感知反思

在平時的解題教學或作業講評過程中，都“有意無意”地外顯反思的過程與方法，讓聽者能清楚地知道教師在解完一題后是如何總結反思的。在教學過程中，教師要將引導學生對解題思路及策略的形成過程的反思以及與相關知識的類比聯想作為教學的必要環節。

在學生解題后，設計一系列體現各種解題策略基本思想的提示或問題，用來啟發學生思考，指出思考的方向與方法，使學生在提示的指引下或對問題的思考過程中，不知不覺地學會探索解題途徑的方法，寫出完整的解題過程，由此反思與總結的習慣將逐步養成。

在一題講評后，抓住契機引導學生對解題方法進行反思。我們可設計一些問題進行引導，比如：在解題教學中，可以從以下幾個方面引導學生進行解題后的反思：

（1）所研究問題和以前的哪些問題是相類似的？這些題的本質特征是什么？你能找到解這類題的通法嗎？

（2）解題思路中關鍵的是哪幾步？自己在探索思路的形成過程中有哪些成功與失敗的地方？

（3）哪一種方法最基本、最典型？哪一種最簡便？哪一種更巧妙？

（4）解題過程是否正確、圓滿？有無增、漏、錯、等情況？

（5）若解答正確，能否總結你的解題思路、解題策略、解題方法？

（6）命題是否能進行變式，結論能否引申和推廣？

（7）解題中運用了哪些數學思想方法？

（8）通過做這道題，你的收獲是什么？你注意到哪些問題？

上述反思是緊緊扣住解題目標層層深入的，解題方法與技巧只是實現解題目標的手段而不是解題目的，通過反思讓學生明確數學思想方法在解題中的作用，培養其思維的深刻性。

教學中，在適時的對反思的方法進行總結提煉的同時，對解題的方法進行橫向的遷移，給出可用相似解法解出的不同題或不能用相同解法解出的相似題，進行比較分析，讓學生在對比分析中，明確該類方法的適用范圍及注意事項，引導學生進行恰當的反思。