動態圖形問題的思考與解決方法

有些中學生遇到比較難的動態圖形問題時候 就不會思考問題，你們不會證明幾何問題的主要原因是你只會使用自己的知識經驗，而不會使用化歸法、代數法以及邏輯思維方法，此文教會你使用數學思維方法與數學方法。

1.動態圖形的思考方法

問題1 矩形ABCD中，AP是角BAD的平分線，G是EP的中點，求∠BDG。

分析證明問題的思考方法：求∠BDG時候肯定絕大部分學生不知如何思考，但是讓學生去思考另兩個問題“正方形ABCD中，求∠BDC；在直角三角形ABC中，點G是中點，求∠ABG”，肯定絕大數學生會思考；為什么絕大數學生會思考，原因是你們熟悉思考簡單幾何問題，那么碰到不熟悉問題時候怎么思考，對不熟悉問題進行活動性變化，在變化中尋找你們熟悉的問題，這種思考方法屬于化歸法。那么上述問題怎么去變化，抓住已知問題的關鍵弱點，如果把矩形邊拉長方式進行活動并變化得到如下正方形圖形（注意 拉長過程中點E、G、P、C重合，在幾何畫板容易進行活動）

從活動圖形之后得到的圖形容易得到∠BDG=45°。

如果把矩形的邊縮短為零（注意 點A、B、E重合，點C和D重合，也是活動性思維，在幾何畫板）進行活動性變化得到一下的三角形，從圖形容易得到∠BDG=45°。

當思考幾何問題時候學會的關鍵方法是對幾何圖形進行活動變化，把不熟悉圖形通過變動變化熟悉的圖形，這種數學方法叫做化歸法。

問題2 在△ABC中，點O是AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，設∠BCA的平分線和∠GCA的平分線交直線MN于點E、F。

求證：EO=FO；（2）當點O運動到何處時，四邊形ABCF是矩形？并證明你的結論。

思考問題 問題（1）我們要思考在何種條件下、或者創造何種條件才能證明EO=FO，根據自己的知識經驗能夠猜想到各種我們熟悉的條件、比如第一種條件是三角形EOC和三角形FOC全等、第二種條件是三角形EOC和三角形FOC都是等腰三角形，根據已知問題的具體條件選擇第二種條件，使用第二種條件比其他條件使用容易多。

證明方法（1） 根據已知條件∠OCE=∠ECB和MN∥BC，可以得到條件∠OCE=∠OEC，就得到條件△OEC是等腰三角形，即OE=OC。同理可以得到條件△OCF是等腰三角形，即OC=OF.從而OE=OF。

問題（2）我們要思考在何種熟悉條件下、或者創造熟悉何種條件才能容易證明四邊形ABCF是矩形，根據自己的知識經驗我們猜想到我們熟悉的條件、當動點O運動到線段AC的中點處時，四邊形ABCF可能是矩形。

證明方法（2） 動點O在線段的中點的熟悉條件下，容易證明四邊形ABCF是矩形。

問題3 如圖，在等腰梯形ABCD中，AD=4，BC=9，∠B=45°，動點P從點B出發沿BC向點C運動，動點Q同時以相同速度從點C出發沿CD向點D運動，期中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動。

（1）求AB的長度；

（2）設BP=x，問當x為何值時△PCQ的面積最大，并求出最大值；

（3）探究 在AB邊上是否存在點M，使得四邊形PCQM為菱形？

請說明理由。

思考問題（1）你們要學會思考在何種熟悉條件下

才能容易求AB的長度，為此你們要做什么？

當然要作三角形ABE的圖形。

解題方法（1）作線段AE具備AE⊥BC條件，

才能作出等腰直角三角形ABE，

因為等腰梯形ABCD中，已知AD=4，BC=9，

∠B=45°等條件，所以能得到

BE=（BC-AD）÷2=2.5和AE=2.5

根據勾股定理還能得到AB=。

思考問題（2）你們熟悉求二次函數的最大值，而不熟悉求△PCQ的面積最大，為此“求△PCQ的面積最大值”問題轉換為“求二次函數的最大值”問題，這種方法在數學方法角度看屬于化歸法，在數學思維方法角度看形數結合。

解題方法（2）作線段QF具備QF⊥BC條件，就做到直角三角形CFQ

和等式FQ=CQ。

因為等腰梯形ABCD中，有∠B=∠C=45°，還有點P和點Q的運動速度與時間相同，設BP=x，那么根據已知條件CQ=x，因為 BC=9，所以CP=9-x和

設△PQC的面積為y，那么得到 y=CP·QF=·（9-x）·

化簡函數得到二次函數 y=，根據二次函數的性質，可知，當x=時，y的值最大；即 當x=時，△PQC的面積最大值是=。

思考問題（3） 在幾何畫板關注點M的動態，初步的認識點M的活動中不能作出棱形；為此使用邏輯思維說明理由，要說明命題“對邊AB上任意點M，不能作出棱形”成立，首先說明命題“AB上至少存在一個點M，能作出菱形PCQM”不成立的理由。

解題方法（3）假設命題“AB上至少存在一個點M，能作出菱形PCQM”成立，那么根據棱形的基本性質首先條件PC=PM=MQ=QC成立，根據已知條件和假設條件 得到條件BP=PC=QC=2.5 ，從而有條件與條件之

間的明顯矛盾 2.5=QC

這種矛盾充分說明上述命題不成立的理由，為此 能說出命題“對邊AB上任意點M，不能作棱形”成立的理由。

問題4 正方形ABCD邊長為4，M， N分別是BC ，CD 上的兩個動點，當M點在BC上運動時，保持AM和MN垂直。

證明：；

（2）設，梯形ABCN的面積為y，求y與x之間的函數關系式；當M點運動到什么位置時，四邊形ABCN的面積最大？并求出最大面積。

問題（1）你們都會解決的簡單問題，為此論文中不討論問題（1），而只討論問題（2）的思考與解決方法。

思考問題 根據思考問題3的知識經驗以及分析問題的題意知道，問題的解決方法屬于化歸法（代數法），即不熟悉的幾何問題轉化為熟悉的代數問題。

解題方法 設，那么不難得到，根據條件，還能得到和梯形ABCN的面積，根據二次函數的基本知識 你們都會得到 動點M在邊BC的中點（）處，梯形ABCN的面積最大，梯形ABCN的面積最大值=10.（幾何圖形的邊使用來以及他的關系表示，用代數知識與方法來解決問題屬于代數法，希望中學生學會代數法）

問題5 正方形ABCD的邊長為5，M是邊AD中點、E是邊AB上的動點、EF垂直MG、點P是FC與MG的

交點，

（1）若X為AE，那么求函數的解析式；（2）若點P是MG中點，描述點P在邊CD上的活動線路。

思考方法：本題證明要求類似問題4，為此猜測使用代數法、遞推法和圖形設計。

證明方法 根據已知條件和勾股定理知道，因為三角形AEM和三角形MDF全等，還知道MF=，不難知道三角形AEM相似三角形MDP，又知道，代入已知信息得到MP=，DP=，又不難知道三角形AEM相似三角形PCG，還知道，代入已知信息得到和GP=，根據上述信息知道====；

（2）若點P是MG中點，那么MP=PG，即=，可得，為此動點在邊CD上的活動范圍只有一個點，即邊CD的中點。

【參考文獻】

[1] 李冬勝.數學思維方法（M）.山西人民出版社.2010年4月。

[2] G.Polya.怎樣解題（閻育蘇譯）（M）.科學出版社. 1982.1。