探索出來的新方法

北師大版八年級下冊《多邊形的內角和與外角和》一課是學生在學習了三角形相關概念，三角形內角和定理等相關知識的基礎上學習的，這節課的學習目標有（1）經歷探索多邊形內角和與外角和公式的過程，進一步發展合情推理能力；（2）掌握多邊形的內角和與外角和公式，進一步發展演繹推理能力；（3）通過觀察、分析，把多邊形問題轉化成三角形問題，體會轉化思想在幾何知識中的應用。其中第一課時的學習重點是：多邊形內角和公式的探索和應用。難點是：探索多邊形內角和公式時，如何把多邊形問題轉化成三角形問題。執教《多邊形的內角和與外角和》第一課時時，整個課堂學生動手實踐、自主探索、合作交流，探索討論出求多邊形內角和公式的好多不同的方法。課堂上學生思維的靈活性，方法的多樣性，令我贊嘆不已！下面具體談談：

課堂上，利用多媒體演示廣場俯視圖引入了本節課的教學，拋出問題：1、三角形的內角和是多少度？你是怎么得出的？2、四邊形的內角和是多少？你又是怎樣得出的？3、廣場中心的邊緣是一個五邊形，你能設法求出它的五個內角的和嗎？帶著這些問題進入了新課的學習。問題拋出后，我沒有急于給學生引導和幫助，而是給足了學生充分的討論時間和空間，小組討論的過程非常熱烈，每個孩子都積極參與，通過思維的碰撞，熱烈的討論，學生得出的方法令我贊嘆，令我驚訝！學生通過小組討論得出了多種求五邊形內角和的方法，真的為學生開放的思維與精彩的講解點贊！我又提出了又一個新的問題：你能類比探索五邊形內角和的方法求出六邊形內角和嗎？n邊形（n是大于或等于3的自然數）的內角和呢？通過剛才探索五邊形內角和的方法學生很快用不同的方法得到了六邊形的內角和是720°，而且類比求五邊形、六邊形內角和的方法，學生進一步得出了n邊形的內角和公式（n-2）·180°。

方法一：如圖7，從n邊形的一個頂點A出發可引（n-3）條對角線，它們將n邊形分為（n-2）個三角形，因此n邊形的內角和為（n-2）·180°；（圖7略）（圖8略）。方法二：如圖8，在n邊形內部任取一點P，連接點P與n邊形的各個頂點，將n邊形分成了n個三角形，去掉以P為公共頂點的n個角∠APB、∠BPC、∠CPD、∠DPE、∠EPF、∠FPA的和360°，因此n邊形的內角和為180°n-360°=（n-2）·180°；方法三：如圖9，在n邊形的一邊上任取一點P（點P不與n邊形的頂點重合），連接點P和n邊形各個頂點的線段將n邊形分成（n-1）個三角形△BPC、△APB、△APF、△FPE、△EPD，這（n-1）個三角形的內角和為（n-1）·180°，去掉以P為公共頂點的（n-1）個角∠BPC、∠APB、∠APF、∠FPE、∠EPD的和180°，因此n邊形的內角和為（n-1）·180°-180°=（n-2）·180°；（圖9略）（圖10略） 方法四：如圖10，在n邊形外部任取一點P（點P不在n邊形任一邊的延長線上），連接點P和n邊形的各個頂點，得到（n-1）個三角形△PBC、△PCD、△PDE、△PEF、△PFA（不含△PAB），這（n-1）個三角形的內角和為（n-1）·180°，去掉以P為公共頂點的（n-1）個角（∠BPC、∠CPD、∠DPE、∠EPF、∠FPA）的和∠BPA與∠PAB、∠PBA的和180°，因此n邊形的內角和為（n-1）·180°-180°=（n-2）·180°。 方法五：此時有同學對方法四提出了不同的想法：老師，我覺得方法四n邊形外部一點P的選取還可以有不同的方法，不一定非的取在剛才的那個位置，如圖11，也可以取在兩邊的延長線的交點上，如可以延長n邊形AB、DC兩邊相交于點P，連接點P和n邊形的其它頂點，得到（n-3）個三角形△APF、△FPE、△EPD（不含△BPC），這（n-3）個三角形的內角和為（n-3）·180°，去掉以P為公共頂點的（n-3）個角（∠APF、∠FPE、∠EPD）的和∠BPC，再加上n邊形的內角∠ABC與∠ACD。此時教室里響起了老師和同學們情不自禁的掌聲……下課鈴聲也已經響起，但是同學們興趣盎然，要求繼續接著探索，趁勢我鼓勵學生在課堂下可以繼續探索不同的方法。并由同學們總結大家不同的探索方法中的相同點：我們在探索研究多邊形的內角和公式時，首先從具體的、特殊的四邊形、五邊形內角和入手，探索得出n邊形的內角和公式。在研究問題的過程中，我們通過做輔助線將多邊形的問題轉化為三角形的問題來解決，即把復雜問題轉化為簡單問題，體現了我們數學中的轉化思想、歸納思想，這種研究和探索問題的思想方法都是我們在學習數學過程中經常要用到的，這種對我們今后學習數學是極為重要的。（單位：山西省晉中市榆次區第五中學）