例說中學數(shù)學原理教學的基本要素

周波 余啟友

【摘要】本文以《點斜式直線方程》教學為例，挖掘數(shù)學原理的形成過程，促進知識結構的系統(tǒng)建構和認知結構的形成。通過教學回顧、教學反思和文獻梳理等方面，試圖論述數(shù)學原理教學的基本要素。

【關鍵詞】直線方程 原理課 教學

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）31-0123-02

數(shù)學原理課作為知識形成的基本課型之一，在中學數(shù)學教學中占據(jù)重要地位。但在數(shù)學原理課教學上，我們常常見到的是“三板斧”式教學。即先對原理進行簡單的介紹或證明，隨后迅速進入原理的運用環(huán)節(jié)上，最后就是課堂練習。將數(shù)學原理課上成了一節(jié)數(shù)學習題課。究其原因，在于教師只看重對原理本身的證明及結論的掌握運用，卻忽視原理發(fā)生發(fā)展的來龍去脈和形成過程，忽視學生發(fā)現(xiàn)意識和合理猜想意識的培養(yǎng)，導致學生對數(shù)學原理課的學習與掌握產(chǎn)生畏懼心理，長此以往將不利于學生數(shù)學素養(yǎng)的形成。

本文以《點斜式直線方程》教學為例，力求改變傳統(tǒng)數(shù)學教學片面追求結果的弊病，挖掘原理的形成過程，促進知識結構的系統(tǒng)建構和認知結構的形成。通過教學回顧、教學反思和文獻梳理等方面，試圖論述數(shù)學原理教學的基本要素。

一、教學回顧

1.問題引入，激發(fā)興趣

問題：如圖所示，直線l過點 A（-1，3）且斜率為-2，點B（1.1，-1.21）在直線l上嗎？

意圖：通過圖像是沒有辦法判斷直線與點的位置關系的，因此應該借助坐標與方程來判斷，由此反映出學習直線方程的必要性。

2.特殊入手，猜想原理

問題：已知直線l過點A（-1，3）且斜率為-2，問直線l上的點P應滿足什么條件？

意圖：借助幾何畫板課件，引導學生觀察思考，在點P的運動過程中，始終不變的量是什么？進而引導學生進行代數(shù)表示。揭示坐標法的思想，重點放在直線與方程的一一對應關系上。

3.原理證明，方程命名

問題1：已知直線l過點P0（x0，y0）且斜率為k，問直線l上的點P應滿足什么條件？

意圖1：引導學生揭示直線與方程的同構關系。引導學生來命名，概括出點斜式方程的定義，突出確定直線的兩個要素：點與斜率。

問題2：平面直角坐標系中，過一點的直線中有哪些特殊情況？它們都能表示成直線的點斜式方程嗎？

意圖2：概括總結（1）與x軸平行或重合的直線（斜率為0）：方程 y=y0；（2）與y軸平行或重合的直線（斜率不存在）：方程 x=x0； 并進一步獲得截距及斜截式方程的概念。

4.原理應用，鞏固提升

例1：求下列直線的方程

（1）一條直線經(jīng)過點P（-2，3），傾斜角α=45°；

（2）一條直線經(jīng)過點A（0，2），且與直線y=3x+1垂直。

例2：已知直線l1：y1 = k1 x+ b1，l2：y2 = k2 x + b2.試討論：

（1）l1∥l2的條件是什么？ （2）l1⊥l2的條件是什么？

意圖：點斜式方程的簡單應用，培養(yǎng)學生學會獨立思考解決問題能力，滲透解析法和數(shù)形結合思想。

5.歸納總結，結構認知

（1）知識結構

（2）方法結構

①坐標法。通過建立直角坐標系，根據(jù)題意將直線上動點坐標（x，y）所滿足的等量關系表示出來。坐標法求軌跡的思想不僅對直線方程與方程直線給出解釋，更對后續(xù)的求曲線方程問題提供了思路與方法。

②數(shù)形結合思想。通過直角坐標系，把直線圖形的幾何直觀與直線方程的代數(shù)運算有機結合，實現(xiàn)了運用代數(shù)的方法來研究幾何問題。

意圖：通過結構化總結與梳理，幫助學生將新學內(nèi)容納入已有的認識結構，為后續(xù)學習奠定基礎。

二、教學反思

1.何種方式引入，教學上不能太突兀或呈現(xiàn)跳躍式引入方式。以本節(jié)課為例，什么叫直線的方程？什么叫方程的直線？在本節(jié)課之前，學生并沒有這方面認識，問題一開始時的設置是“給定一個點和斜率，如何求直線l的方程？”如此問題設置導致大部分學生學生不知道如何下手解決，主要原因便是學生還不知道直線方程的含義。后改成“求直線上點滿足的條件，于是可以從幾何上解釋—都在同一條直線上，也可以從代數(shù)上說明—點的坐標滿足什么條件，從而可以進一步說明坐標法的思想：用代數(shù)方程表示幾何直線，由此才進一步提出問題：方程與直線能互相表示嗎？這樣，他們之間的關系就水到渠成了。

2.知識原理不是無端生成的，為促進新原理的學習，就要激活學生原有的知識與經(jīng)驗。比如，坐標系下兩點的斜率公式表示？兩點確定一條直線，如果異于兩點的第三點P也在直線上，那么它滿足的代數(shù)條件是什么？等等是學習新原理的必要知識。

3.本節(jié)教學結構是什么？本節(jié)課核心任務是對直線方程和方程直線的探究發(fā)現(xiàn)過程。重難點是直線上的點與方程的解的同構關系，以及對直線的點斜式方程的探索和運用過程。而核心任務的完成，是通過學生自主及合作來完成的。通過特殊—一般—特殊的教學過程來歸納原理并運用原理。這是本節(jié)的教學結構，那么對一般的原理課的教學結構又該是怎樣的？

三、教學原理

通過知網(wǎng)搜索了相關文獻，并閱讀了福建省普教室課題成果《福建省中學數(shù)學新授課課堂教學基本規(guī)范》，以及廈門市教科院編寫材料《原理課核心任務及其教學定位》。梳理以上相關理論后，下面嘗試論述原理教學的基本要素。

1.數(shù)學原理課的定義

數(shù)學原理包括數(shù)學公理、定理、公式、性質(zhì)和法則等。數(shù)學原理既是數(shù)學概念及其關系認識的深化，又是聯(lián)系概念和問題的橋梁。數(shù)學原理課應通過學生的學習活動，進一步了解知識之間的內(nèi)在聯(lián)系及其演繹規(guī)律，掌握數(shù)學知識之間所存在某些定律或聯(lián)系法則。讓學生準確地掌握數(shù)學原理的條件部分和結論部分，了解公式、定理中諸條件的性質(zhì)和作用，掌握原理變形的各種形式。

例如，本節(jié)課學習是對直線方程與方程直線的首次認識與接逐步了解直線方程與方程直線的內(nèi)在聯(lián)系，從而準確把握對數(shù)學原理的理解。

2.原理課的基本要素

（1）數(shù)學原理的內(nèi)容：數(shù)學原理的內(nèi)容表述可以是多種形式，無論是哪一種形式都必須表達規(guī)范，對原理的敘述要準確。

（2）數(shù)學原理的結構：要求分清條件和結論。在進行原理教學時，要重視指導學生區(qū)分原理的條件與結論，體現(xiàn)數(shù)學原理與原有知識結構之間的邏輯聯(lián)系。

（3）數(shù)學原理的論證：數(shù)學原理的論證要引導學生探索由條件到結論轉化的推理思路。還要注意原理轉換時的等價性，引導學生在證明過程中如何進行原理的轉換，一定要展示完整的思維過程。

（4）數(shù)學原理的應用：通過例題和習題讓學生領會原理的適用范圍、應用的基本規(guī)律和注意事項。根據(jù)高中數(shù)學原理學習的內(nèi)容、方式和學習過程。

3.原理課的教學結構

（1）基本流程

如本節(jié)課的教學設計流程為：1.問題引入，激發(fā)興趣 ；2.特殊入手，猜想原理； 3.原理證明，方程命名； 4.原理應用，鞏固提升； 5.歸納總結，結構認知等。

（2）教學結構

數(shù)學原理的教學一般有幾種不同的教學過程結構：第一種是實驗研究型的教學過程結構，如本節(jié)教學；第二種是枚舉研究型的教學過程結構，如分類與分步計數(shù)原理教學；第三種是推理研究的教學過程結構，如空間幾何中線面平行，線面垂直的定理教學；第四種是分類研究和推理研究相結合的教學過程結構，如正弦定理和余弦定理的教學。

關于中學數(shù)學原理教學，以上只是我們的一點初淺認識，期待同仁們更深入的理論與實踐研究，只有在平時教學中注意引導學生了解和把握數(shù)學原理的形成過程結構，注重培養(yǎng)學生的結構性整體思維，學生才會在以后的數(shù)學學習中主動遷移，才能有效培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

參考文獻：

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[3]普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學2（A版）[M].北京：人民教育出版社2014.5

[4]普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學2教師教學用書（A版）[M].北京：人民教育出版社2014.5