問題導(dǎo)學(xué)，實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)本質(zhì)的學(xué)習(xí)

張煥顥

[摘 要]學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)主要是圍繞問題進(jìn)行的。在教學(xué)中，核心問題的提出，可以有效地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對數(shù)學(xué)概念實(shí)質(zhì)的理解、對數(shù)學(xué)思維水平的深化和對數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟。

[關(guān)鍵詞]問題 概念 思維 思想方法

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）35-088

“問題”是數(shù)學(xué)的心臟。學(xué)生的自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)都是圍繞著“核心問題”展開。“核心問題”能揭示數(shù)學(xué)概念本質(zhì)、引發(fā)學(xué)生深度思維、蘊(yùn)含數(shù)學(xué)思想方法，它是教師精心預(yù)設(shè)出來的，其目的是為了幫助學(xué)生達(dá)到對數(shù)學(xué)本質(zhì)的學(xué)習(xí)。

一、引導(dǎo)對比分析，揭示概念實(shí)質(zhì)

英國著名數(shù)學(xué)家阿蒂亞曾說：“數(shù)學(xué)的目的，就是用簡單而基本的詞匯去盡可能多地解釋世界。”數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)體系中最基礎(chǔ)的詞匯，要達(dá)到對數(shù)學(xué)概念實(shí)質(zhì)性的理解，并不像人們想象的那么簡單。

例如，在教學(xué)“確定位置”一課中，當(dāng)學(xué)生通過自學(xué)并展示了多種表示數(shù)對的方法之后，教師提出了本課的核心問題：“這幾種方法有什么相同的地方？”并引導(dǎo)學(xué)生對比求同，學(xué)生找出了三個(gè)共同點(diǎn)：1.都包含了兩個(gè)數(shù)，一個(gè)是列數(shù)，另一個(gè)是行數(shù)；2.都有順序，列數(shù)在前，行數(shù)在后；3.都要找個(gè)符號來分隔。這就是數(shù)對的數(shù)學(xué)內(nèi)涵的絕大部分。為了完善認(rèn)知，教師又一次引導(dǎo)學(xué)生對比數(shù)學(xué)家的方法與我們的方法的不同點(diǎn)，“為什么要加一個(gè)括號，沒有括號行不行？”進(jìn)一步揭示了“數(shù)對是一個(gè)整體，表示列與行交叉的這個(gè)點(diǎn)的位置。”這就是數(shù)對概念的本質(zhì)。

反思教學(xué)過程，可以發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過獨(dú)立自學(xué)和小組互學(xué)，學(xué)生對一個(gè)數(shù)學(xué)概念會(huì)形成“相異構(gòu)想”，在此基礎(chǔ)上，教師提出核心問題去引導(dǎo)學(xué)生對比分析，往往能幫助他們對數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解與掌握。

二、創(chuàng)造認(rèn)知沖突，深化數(shù)學(xué)思維

現(xiàn)代心理學(xué)認(rèn)為，數(shù)學(xué)認(rèn)知的過程有兩種方式。一種是把已有的數(shù)學(xué)知識自然吸納入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，即同化。另一種是必須調(diào)整與改造原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)以適應(yīng)新的學(xué)習(xí)，即順應(yīng)。認(rèn)知沖突往往在學(xué)生以順應(yīng)的方式進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)產(chǎn)生，這時(shí)，學(xué)生感到已有的生活經(jīng)驗(yàn)不能解釋數(shù)學(xué)現(xiàn)象，舊有的數(shù)學(xué)知識不能解決新問題，從而產(chǎn)生強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)需求，刺激學(xué)生進(jìn)行深度思考。

例如，在教學(xué)“三角形的認(rèn)識”一課中，第一次呈現(xiàn)的高，是一條從頂點(diǎn)向下至底邊作的垂線，這個(gè)高與量身高、量樹高、量房屋的高說法一致，符合學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，這是同化，學(xué)生比較容易理解。第二次呈現(xiàn)的高，教師先把三角形旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，再提出問題：“這條從右頂點(diǎn)到左斜邊的線段是三角形的高嗎？為什么？”學(xué)生表示反對，認(rèn)知沖突產(chǎn)生了，這時(shí)教師不能急于說出答案，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生思考，并將問題細(xì)化：“是哪條底邊上的高呢？這條底邊的高在哪里？”使學(xué)生漸漸摒棄現(xiàn)象，抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)。在后面的鞏固練習(xí)中，教師利用幾何畫板，將高從形內(nèi)發(fā)展到了邊上，再發(fā)展到形外，期間不斷引發(fā)學(xué)生思考：“這是三角形的高嗎？”

反思教學(xué)過程，在學(xué)習(xí)三角形的高時(shí)，教師將問題“這是三角形的高嗎？”在常式與變式中反復(fù)出現(xiàn)，使這個(gè)看似簡單的問題成了核心問題。它引領(lǐng)著學(xué)生觀察不同的情況，變換不同的角度，從而發(fā)現(xiàn)共同的本質(zhì)，完善了學(xué)生的認(rèn)知，發(fā)展了思維的周密性、深刻性、靈活性。

三、注重整合延展，領(lǐng)悟思想方法

在課堂教學(xué)中，教師要有整體的觀念和長程的視角，能看到數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展的歷程，能看到數(shù)學(xué)內(nèi)部的聯(lián)系及數(shù)學(xué)與生活世界的聯(lián)系，能看到隱藏在數(shù)學(xué)知識、技能、能力背后的通用性的數(shù)學(xué)思想方法。

例如，在教學(xué)“長方形與正方形的認(rèn)識”一課中，教師展示了多種圖形，包括了三角形與各種四邊形。第一次提問：“你能把這些圖形分成三類嗎？”學(xué)生在分類時(shí)很自然地按邊和角來分，這就引出了對幾何圖形的研究角度。第二次提問：“你能把這些圖形分成兩類嗎？”這就引發(fā)了對長方形與正方形特征的猜想。第三次提問：“我們可以從哪些方面來研究圖形？可以怎么研究它們的特征呢？”引發(fā)了學(xué)生對長方形與正方形特征操作驗(yàn)證。

反思教學(xué)過程，這些問題看上去并不直接指向 “長方形和正方形的特征”，但是它們指向的是研究圖形的通用性方法。尤其是問題“我們可以從哪些方面來研究圖形？”這不僅是本課的核心問題，也是認(rèn)識幾何圖形這一類課的核心問題。為什么呢？縱觀小學(xué)“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)，如果是認(rèn)識圖形，一定可以從不同的幾何要素（點(diǎn)、線、面）觀察，一定可以從不同的維度（數(shù)量、長度，面積，體積）去測量，一定可以從不同的關(guān)系（相等、平行或垂直的位置）去思考。因此，這個(gè)班的學(xué)生是幸運(yùn)的，第一次上圖形認(rèn)識的課，就抓住了研究圖形的幾何要素，掌握了研究圖形的方法。如果持之以恒，還愁學(xué)生沒有“幾何直觀”與“空間觀念”，不能形成“幾何素養(yǎng)”嗎？

總之，在數(shù)學(xué)課堂上，教師要深刻理解與把握學(xué)科知識脈絡(luò)、學(xué)科通用的研究方法以及學(xué)科獨(dú)特的思維方式，要能看到對學(xué)生當(dāng)下與將來具有持續(xù)影響的數(shù)學(xué)教育元素，并以數(shù)學(xué)問題為載體，推動(dòng)學(xué)生把握學(xué)科本質(zhì)，形成核心素養(yǎng)。

（責(zé)編 李琪琦）