無處不在的向量

江蘇省靖江市劉國鈞中學 范金良

無處不在的向量

江蘇省靖江市劉國鈞中學 范金良

向量既有大小，又有方向，是數與形的完美結合。向量是一個重要概念，能和數一樣進行運算，作為一種數學工具，越來越被人們所重視。向量由于具有“形”和“數”的兩重特點，使它成為中學數學知識內容的中介。向量作為一種數學工具，高考命題在向量與其他知識的結合處設計試題已屢見不鮮。在高中數學教學中應重視和應用好這一有力的工具，以拓展學生的想象力，激發他們的創新能力，提高他們分析和解決問題的能力。本文就向量與高中數學知識結合的應用舉例說明。

一、向量與函數的結合

即當t≥5時，f（x）在（-1,1）上是增函數。故t的取值范圍是t≥5。

小結：向量與函數的結合，向量作為一種依托，將之轉化為函數的知識，利用函數思想來解題。對函數知識的要求比較高。

二、向量與數列的結合

小結：數列的綜合問題是高考的重點內容，以向量為背景的數列題型并不多見，此題主要利用向量的加減運算來轉化成數列的知識。

三、向量與不等式的結合

不等式在高中數學中是一個難點，但如果能用向量來轉變，也不失為一種方法。

小結：此類問題的解法很多，但利用構造向量的方法，創造性地解決問題，別開生面，往往可以出奇制勝，同時也可以培養同學們的創造性思維。

四、向量與三角函數的結合

小結：向量與三角函數是黃金搭檔，題型較普遍，主要是運用三角函數的知識解題，在運用向量方法和坐標方法解題時要有所選擇。

五、向量與立體幾何的結合

例5：記動點P是棱長為1的正方體的對角線上一點，記。當∠APC為鈍角時，求λ的取值范圍。

小結：向量坐標法證明一氣呵成，和諧統一，給人美的享受。空間向量的引入在研究幾何圖形中起到了很大的作用。

六、向量與解析幾何的結合

小結：向量與解析幾何，兩者都是代數形式和幾何形式的統一體，向量與解析幾何結合起來設計試題已逐漸成為高考命題的一個新亮點。利用向量的知識來解決解析幾何的問題，可以化繁為簡，提高解題質量。

七、向量與復數的結合

向量在復數中也得到了體現，復平面內的點集與原點為起點的向量是一一對應的。常把復數說成點或說成向量，并規定相等向量表示同一復數。所以在解有關復數問題時，可以把復數轉成向量來解決，有時也能收到不錯的效果。

在近幾年的高考試題中，每年都有向量題出現，基礎題考查向量的性質和運算法則、數乘、數量積和共線問題；大題都是以向量形式為載體，討論向量在其他知識中的應用。

通過上述幾例的分析，我們可以看出向量已經由解決問題的輔助工具上升為分析問題和解決問題所必不可少的工具，向量可以通過將元素間的關系轉化為數量關系，將邏輯證明轉化為數值計算，化繁難為簡易，它的特點為其他知識解題創造了條件。