例談解幾中向量應(yīng)用意識的培養(yǎng)

江蘇省金湖中學(xué) 秦利芳

例談解幾中向量應(yīng)用意識的培養(yǎng)

江蘇省金湖中學(xué) 秦利芳

向量知識作為工具，在數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科的很多分支中有著廣泛的應(yīng)用。它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”，能融數(shù)形于一體，能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的許多主干知識綜合，形成知識交匯點，是高考命題的熱點。但我國向量知識卻是在全面實施新課程后才作為教學(xué)內(nèi)容進入高中數(shù)學(xué)教材的。學(xué)生還不太適應(yīng)用向量知識方法解題。在數(shù)學(xué)解題方面，向量應(yīng)用意識不強。如在解析幾何中有些問題總習(xí)慣用常規(guī)方法去解決，造成過程運算比較繁雜，若能靈活運用向量作形與數(shù)的轉(zhuǎn)化，則會大大簡化過程。鑒于此，筆者想談?wù)勅绾闻囵B(yǎng)學(xué)生在解析幾何中應(yīng)用平面向量的意識。

一、在知識的構(gòu)建過程中，讓學(xué)生體會向量的工具性特點，感受向量方法的簡潔性

【例1】利用向量知識來推導(dǎo)點到直線的距離公式。

當(dāng)B=0時，可直接用圖形證明（略）。

評注：引導(dǎo)學(xué)生對比傳統(tǒng)證明方法，他們會發(fā)現(xiàn)向量法避免了復(fù)雜的構(gòu)圖過程，應(yīng)用向量來證，簡單易懂，充分體現(xiàn)了向量的工具性和優(yōu)越性。所以筆者認(rèn)為先從學(xué)生熟悉的平面幾何問題入手，充分挖掘課本素材，在教學(xué)中從推導(dǎo)有關(guān)公式、定理，例題講解入手，讓學(xué)生去品位、去領(lǐng)悟，在公式、定理的探索、形成中逐漸體會向量的工具性，逐漸形成應(yīng)用向量的意識。

二、在平時的解題思維訓(xùn)練中，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)用向量法的思路清晰與運算過程簡潔的優(yōu)越性

【例2】已知定點A（-1，0）和B（1，0），P是圓（x-3）2+（y-4）2=4上的一動點，求的最大值和最小值。

分析：因為O為AB的中點，所以故可利用向量把問題轉(zhuǎn)化為求向量的最值。又因為，點P在圓（x-3）2+（y-4）2=4上，所以且

點評：有些解幾問題雖然沒有直接用向量作為已知條件出現(xiàn)，但如果運用向量知識來解決，也會顯得自然、簡便，而且易入手。所以，筆者認(rèn)為在教學(xué)中應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生善于運用一些結(jié)論，如線段的長度可看作向量的模等。對于這些結(jié)論，我們教師要引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)，使學(xué)生感受到向量法的思路清晰與運算過程簡潔的優(yōu)越性。

三、在高考試題的再現(xiàn)中，讓學(xué)生感受向量法是高考命題的熱點，應(yīng)用向量法的重要性

【例3】（2016江蘇高考18題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓及其上一點A（2，4）。

（1）設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x=6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B、C兩點，且BC=OA，求直線l的方程；

（3）設(shè)點T（t，0）滿足：存在圓M上的兩點P和Q，使得求實數(shù)t的取值范圍。

分析：第（1）（2）略；第（3）問，方法1：從向量“形”的方面著手，由為此，在圓M上存在兩點滿足條件，因此由，得出，當(dāng)T確定后，只需要作直線TA的平行線，使圓心到直線的距離為即可。方法2：從向量“數(shù)”的方面著手，利用平面向量的運算知識把坐標(biāo)化，轉(zhuǎn)化成圓與圓的位置關(guān)系。

解：（1）（2）略。

點評：我們教師可以通過最新的2016年江蘇高考的真題再現(xiàn)，促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)向量法是高考命題的熱點，發(fā)現(xiàn)用向量法處理此題可以“減少運算量，提高思維量”，感受應(yīng)用向量法的重要性和應(yīng)用向量法解決解析幾何問題的優(yōu)越性，促使學(xué)生樹立應(yīng)用向量的意識。

由以上幾個例子可以看出，解析幾何的題目可以用向量法來探尋解題思路，特別是涉及平行垂直時用向量解決解析幾何題。所以我們在解決解析幾何題時要時刻樹立應(yīng)用向量的意識，爭取早日使向量成為處理解析幾何問題的基本工具。